Coeficientes periódicos de la serie de Fourier

Question

Si tenemos una función continua $f$ en $[-\pi,\pi]$ y sus coeficientes de Fourier complejos son periódicos, es decir, $$c(n) = c(n+k)$$ para algún $k\in \mathbb{N}$, ¿podemos demostrar que $f$ es la función identicamente cero?

Answer 1

Pista Para todos los m tienes

$$\sum_{n \in \mathbb Z} |c(m+nk)|^2 \leq \sum_{n \in \mathbb Z} |c(n)|^2 =\frac{1}{2 \pi}\int_{-\pi}^\pi |f(x)|^2 dx$$

Answer 2

Los coeficientes de Fourier $c(m)$ tienden a $0$ conforme $m \to \pm \infty$. Por lo tanto, $c(n)=c(n+mk) \to 0$ conforme $m \to \infty$, demostrando que $c_n=0$ para todo $n$.