Demostrando la convergencia de $\sum_{n=1}^\infty\frac{\frac\pi2-\arctan n}{n}$

Question

Estoy interesado en esta suma para una integral

$$\sum_{n=1}^\infty\frac{\frac\pi2-\arctan n}{n}$$

Parece converger a partir del gráfico de sumas parciales, pero no sé cómo demostrarlo formalmente. También estoy interesado en la respuesta.

Comencé convirtiendo el numerador en una integral, dándome cuenta de que $\pi/2$ es simplemente $\arctan(nx)$ evaluado en $x=\infty$, cambié la integral con la suma y obtuve una respuesta incorrecta.

Answer 1

$$\frac{\pi}{2} - \arctan n = \int_n^\infty \frac{dx}{1+x^2} \le \int_n^{\infty} \frac{dx}{x^2}$$

¿Puedes derivar la convergencia a partir de esto?

Answer 2

CONSEJO

Puedes aplicar las siguientes relaciones para comprobar la convergencia: \begin{align*} \frac{\pi}{2} - \arctan(n) = \arctan\left(\frac{1}{n}\right) < \frac{1}{n} \end{align*}

Más precisamente, se tiene la siguiente situación: \begin{align*} \sum_{n=1}^{N}\frac{\pi/2 - \arctan(n)}{n} & = \sum_{n=1}^{N}\frac{\arctan\left(\frac{1}{n}\right)}{n} < \sum_{n=1}^{N} \frac{1}{n^{2}} \end{align*}

¿Puedes continuar a partir de aquí?