Un ejemplo sobre la independencia de tres variables aleatorias discretas

Question

Sean A, B y C variables aleatorias con distribuciones de probabilidad discretas. Considera las siguientes dos tablas de probabilidad conjunta:

¿Podemos saber si A y C son independientes o no? ¿Podemos calcular la probabilidad condicional $P(B=b_1|A=a_2,C=c_3)$?

Estoy realmente confundido acerca de la independencia. Creo que este es un buen ejemplo para entenderlo. ¡Cualquier ayuda es apreciada. ¡Gracias!

Answer 1

Calculamos las distribuciones marginales de $A$, $B$ y $C$ de la siguiente manera: \begin{align} \mathbb P(A=a_1) &= \sum_{j=1}^3 \mathbb P(A=a_1,B=b_j) = \frac1{10}+\frac1{20}+\frac3{20} = \frac3{10}\\ \mathbb P(A=a_2) &= \sum_{j=1}^3 \mathbb P(A=a_2,B=b_j) = \frac1{10}+\frac1{20}+\frac3{10} = \frac9{20}\\ \mathbb P(A=a_3) &= \sum_{j=1}^3 \mathbb P(A=a_3,B=b_j) = \frac1{20}+\frac3{20}+\frac1{20} = \frac14\\ \mathbb P(B=b_1) &= \sum_{j=1}^3 \mathbb P(B=b_1,A=a_j) = \frac1{10}+\frac1{10}+\frac1{20}=\frac14\\ \mathbb P(B=b_2) &= \sum_{j=1}^3 \mathbb P(B=b_2,A=a_j) = \frac1{20}+\frac1{20}+\frac3{20}=\frac14\\ \mathbb P(B=b_3) &= \sum_{j=1}^3 \mathbb P(B=b_3,A=a_j) = \frac3{20}+\frac3{10}+\frac1{20}=\frac12\\ \mathbb P(C=c_1) &= \sum_{j=1}^3 \mathbb P(C=c_1,B=b_j) = \frac1{50}+\frac3{100}+\frac7{20} = \frac25\\ \mathbb P(C=c_2) &= \sum_{j=1}^3 \mathbb P(C=c_2,B=b_j) = \frac7{50}+\frac1{20}+\frac1{25}=\frac{23}{100}\\ \mathbb P(C=c_3) &= \sum_{j=1}^3 \mathbb P(C=c_3,B=b_j) = \frac3{50}\\ \mathbb P(C=c_4) &= \sum_{j=1}^3 \mathbb P(C=c_4,B=b_j) = \frac3{100} + \frac{17}{100} + \frac{11}{100} = \frac{31}{100}. \end{align} $A$ y $C$ son independientes si y solo si $\mathbb P(A=a_i,C=c_j) = \mathbb P(A=a_i)\mathbb P(C=c_j)$ para $i=1,2,3$ y $j=1,2,3,4$. Dejo esto para que lo calcules.

La probabilidad condicional $\mathbb P(B=b_1\mid A=a_2,C=c_3)$ se da por $$ \frac{\mathbb P(B=b_1,A=a_2,C=c_3)}{\mathbb P(A=a_2,C=c_3}. $$

Nuevamente, te dejo esto para que lo calcules.