Sea $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ una función que admite primitivas en $\mathbb{R}$ y $F:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ una primitiva (es decir, $F'(x)=f(x), \forall x \in \mathbb{R}$).
Demuestra que las siguientes dos desigualdades son equivalentes: \begin{align} a)&& (f(x)-f(y))(x-y) &\ge (x-y)^2, && \forall x, y \in \mathbb{R} \\b)&& F(x)-F(y) &\ge \frac{1}{2}(x-y)^2+f(y)(x-y), &&\forall x, y \in \mathbb{R} \end{align} Mi enfoque fue demostrar $b) \implies a)$. Es obvio, porque si $b)$ es cierto para todos los pares $(x, y)$ entonces también es cierto para $(y, x)$ al sumar las dos relaciones obtenemos "$a)$". Pero no he encontrado una forma de demostrar la declaración inversa. Mi primera idea fue utilizar el teorema del valor medio para incluir a $F$ en la ecuación, pero el teorema del valor medio implica la existencia de un punto, lo cual no satisfaría el cuantificador $\forall$.
Respuesta
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Para cualquier primitiva $F$, $F(X) - F(Y) = \int_Y^X f(x) dx$. En el caso $x>y$, la desig. $a)$ se convierte en
$$f(x) - f(y) \ge x-y$$
Sea $y \le Y \le x \le X $. Si integramos esta desigualdad en $x$ desde $Y$ hasta $X$, obtenemos $$ F(X)-F(Y) - (X-Y)f(y) \ge \frac12(X^2 - Y^2) - y(X-Y) \tag{*} $$
Haciendo la elección $y=Y$ y $x=X$ obtenemos $$ F(x) -F(y) \ge \frac12(x^2 + y^2) - xy + (x-y)f(y) = \frac12(x-y)^2 + (x-y)f(y) $$ Lo cual es $b)$.
Así que hemos demostrado $a)\implies b)$, para cuando $x>y$. El caso $x=y$ es trivial. Para el caso $x, la desig. $a)$ se convierte en $$ f(y)-f(x) \ge y-x$$
Integrando ahora en $x$ desde $X$ hasta $Y$ (esta vez $X\le x\le Y\le y$) obtenemos $$ (Y-X)f(y)-(F(Y)-F(X))\ge y(Y-X) -\frac12(Y^2-X^2)$$
lo cual es exactamente la desigualdad $(\text *)$ tras reorganizar, así que al fijar $y=Y$ y $x=X$ de nuevo obtenemos el resultado.
