Estoy interesado en la distribución del tiempo que la marcha Browniana estándar $W_t$ en $[0,1]$ satisface la siguiente desigualdad: $$W_t \ge stW(1)$$ Para diferentes valores de $s$. Conjeturo que la distribución siempre es una distribución Beta con ambos parámetros iguales (si son distribuidos Beta, deben ser iguales porque por simetría el valor esperado de este tiempo debería ser igual a $\frac{1}{2}$.
Hay dos casos especiales en los que puedo decir que lo anterior es cierto: si $s=0$ entonces tenemos la pregunta habitual sobre la distribución del tiempo que BM pasa por encima del eje $x$, en cuyo caso la respuesta es la distribución $B(\frac{1}{2},\frac{1}{2})$. Si $s=1$ la desigualdad se puede transformar en: $$B_t=W_t-tW(1) \ge 0$$ Lo cual pregunta sobre la distribución del tiempo que el puente Browniano pasa por encima del eje $x$, en cuyo caso la respuesta es $B(1,1)$ - la distribución uniforme.
De la simulación que he realizado parece que el resultado es cierto en general con $1$ siendo el valor más alto del parámetro. Sin embargo, no tengo ninguna prueba ni ninguna pista de cómo proceder.
Respuesta
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sven svenson
Puntos
23
Tal vez ayude conectar este proceso con un proceso de Wiener cambiado en el tiempo para que pueda usar más fácilmente las leyes del arcseno de Wiener. Deje que
$$X_t = W_t - stW_1.$$
Este es un proceso Gaussiano con función de covarianza
$$c\left(u,t\right) = \min\left(u,t\right) - ut s\left(2-s\right).$$
Luego el proceso
$$B_t = \left(1+ts\left(2-s\right)\right)X_{\frac{t}{1+ts\left(2-s\right)}}$$
es un proceso de Wiener. Si sabes cuánto tiempo $B$ pasa por encima de cero en varios intervalos de tiempo, ¿puede eso ayudarte a decir algo sobre $X$?
