Parametrización del círculo en 3D

Question

Se me ha dado la función de valor vectorial (supuestamente un círculo) $r(t) = (3\cos t, 4\cos t, 5\sin t)$. Sin embargo, no puedo ver inmediatamente cómo es un círculo. ¿Cómo puedo verificar que lo es?

También tengo una pregunta relacionada: ¿cómo puedo encontrar la ecuación paramétrica de un círculo en 3D en general?

Answer 1

Puede ser útil escribir la función de la siguiente manera: $$ r(t) = 5\cos t \,\vec v_1 + 5\sin t \,\vec v_2 $$ Donde $\vec v_1$ y $\vec v_2$ son los vectores unitarios ortogonales $$ \vec v_1=\left(\frac35,\frac45,0\right)\qquad \vec v_2 = (0,0,1) $$ Para cualquier elección de $\vec v_1$ y $\vec v_2$ que tengan longitud uno y sean perpendiculares entre sí (es decir, vectores ortogonales unitarios), la expresión anterior te da un círculo de radio $5$. Esto incluye el círculo unitario usual, donde $\vec v_1=(1,0,0)$ y $\vec v_2=(0,1,0)$.

Pero, suponiendo que no tuvieras este golpe de genialidad, siempre podrías verificar que esto parametriza una curva de distancia constante al origen al notar que para cualquier $t$: $$ [x(t)]^2+[y(t)]^2+[z(t)]^2=5^2 $$ O al notar que para cualquier $t$, $$ r(t)\cdot r'(t)=0 $$ Como señala Jared, si luego notas que la curva yace completamente en un solo plano (en este caso, $4x-3y=0$), puedes deducir que la curva es alguna parte de un círculo.

Answer 2

Otra forma de ver esto: nota que tu curva yace completamente en el plano $4x-3y=0$ y en la esfera $x^2+y^2+z^2=25$. No lleva mucho más trabajo demostrar que la curva es en realidad la intersección completa del plano y la esfera, ¡así que debe ser un círculo!

Answer 3

Puedes calcular la curvatura y torsión de la curva. Te darás cuenta de que $\kappa= \text{const}, \tau=0$. Las únicas curvas con curvatura y torsión constantes son las hélices, y dado que $\tau=0$ la curva yace en un plano, por lo tanto es un círculo.

El círculo más general en el espacio tridimensional es isométrico al simple $r(t)=(R \cos t,R \sin t,0)$. Es decir, existe una matriz ortogonal $Q \in \mathbb R^{3 \times 3}$ y un vector $b \in \mathbb R^3$ tal que $f(x)=Qx+b$ lleva el círculo general al simple.