Determinante de una matriz menos su traspuesta

Question

Sea $A$ una matriz de $n\times n$ y $A^t$ su transpuesta.

Sé cómo mostrar que $\mathrm{det}(A-A^t)=(-1)^n\mathrm{det}(A^t-A)$.

Me gustaría saber cómo mostrar que $\mathrm{det}(A-A^t)=(-1)^{\mathrm{rango} A}\mathrm{det}(A^t-A)$.

La estrategia que he seguido es la siguiente. Si puedo encontrar matrices $U$ y $V$ tales que $UAV$ y $UA^tV$ estén en forma escalonada por filas, entonces puedo demostrarlo, pero tampoco sé cómo construir estas matrices.

Cualquier ayuda es apreciada. Gracias de antemano.

Answer 1

Lo que quieres probar no es cierto. Toma

$$A = \left(\begin{array}{cc} 1 & 3 \\ 2 & 6 \end{array}\right)$$

para el cual $\operatorname{rank}A=1$ y $\det(A-A^t)=\det(A^t-A)=1$

porque

$$A^t = \left(\begin{matrix} 1 & 2 \\ 3 & 6 \end{matrix}\right)$$ $$A^t-A = \left(\begin{matrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{matrix}\right)$$ .