El primer valor propio del Laplaciano

Question

Es bien sabido que para cualquier dominio acotado $\Sigma$, existe un único $\lambda_\Sigma >0$ y una función no negativa $\varphi\in H_0^1(\Sigma)$ tal que \begin{equation}\label{Eq-La-Bel-op} \left\{ \begin{aligned} &-\Delta\varphi=\lambda_\Sigma\varphi \quad\mbox{en }\Sigma, \\ &\varphi=0 \quad\quad\quad\quad~\mbox{en } \partial\Sigma,\\ \end{aligned} \right. \end{equation} donde $\Delta$ es el operador Laplaciano y $\lambda_\Sigma$ es su primer autovalor.

Pregunta: Para cualquier $\varepsilon>0$ pequeño, ¿existe algún dominio suave $\Omega$ tal que $\Sigma\subsetneq\Omega$ y $\lambda_{\Sigma}\leq\lambda_{\Omega}+\varepsilon$?

Answer 1

Una respuesta a esta pregunta es que podrías intentar usar la continuidad de los autovalores con respecto a cambios en el dominio. No he revisado las demostraciones (de todos modos no están en la referencia que uso), pero en el libro de Antoine Henrot Extremum problems for eigenvalues of elliptic operators, la Sección 2.3.3 trata sobre esto (y la Sección 2.3.5 te habla sobre diferenciabilidad). Los resultados son aproximadamente (todos los conjuntos están contenidos en un conjunto compacto fijo)

1. si $\Sigma$ es convexo y $\Omega_n$ son conjuntos convexos que tienden a $\Sigma$ en distancia de Hausdorff, entonces $\lambda_k(\Omega_n)\to \lambda_k(\Sigma)$.
2. Si $\Omega_n$ son uniformemente Lipschitz y convergen a $\Sigma$ en distancia de Hausdorff, entonces $\lambda_k(\Omega_n)\to \lambda_k(\Sigma)$
3. Si $\Omega_n\subset \mathbb{R}^2$ tal que el número de componentes conectadas del complemento está uniformemente acotado, y convergen a $\Sigma$ en distancia de Hausdorff, entonces $\lambda_k(\Omega_n)\to \lambda_k(\Sigma)$.

Dependiendo de las propiedades de regularidad y conectividad de tu conjunto $\Sigma$ (y la dimensión), esto podría resolver tus problemas. No tengo conocimiento de condiciones necesarias para la continuidad, pero por supuesto puede que las haya.