E[X] y E[X^2] con Expectativa Condicional

Question

$\newcommand{\E}{\operatorname{\mathbb E}}$ $\newcommand{\Var}{\operatorname{\mathbb Var}}$ Si $\E[X] = {^1\!/\!_3}(\E[X\mid Y=1] + \E[X\mid Y=2] + \E[X\mid Y=3]) = 10$

Donde $\E[X|Y=1] = 2,\; \E[X|Y=2] = 3+\E[X],\; \E[X|Y=3] = 5+\E[X]$

es $\E[X^2|Y=1] = 4,\; \E[X^2|Y=2] = 9 + 6\E[X] + 6\E[X^2],$ y así sucesivamente?

Esto es para encontrar la $\Var(X)$.

donde $\Var(X) = \E[X^2] - (\E[X])^2$

Pregunta: ¿Cómo se encuentra la varianza de esto dado que $\E[X] = 10$?

Answer 1

Esto parece que el conocido prisionero está atrapado en una celda con 3 puertas.

$$E(X^2)=E(2^2)1/3+E[(3+X)^2]1/3+E[(5+X)^2]1/3 $$ Expande los términos, toma la expectativa término por término, usa $E(X)=10$ y resuelve para $E(X^2).$