¿Es $\sin^2x$ uniformemente continua en $x\in [0,\infty]$?

Question

Tengo la pregunta de si $sin^2x$ es uniformemente continuo en $x \in [0,\infty]$ ?
Mi enfoque:

Sea $\left|x-y\right|<\delta$ tenemos:- $$\left|sin^2x-sin^2y\right|=\left|(\sin x+\sin y)(sin x-sin y)\right|$$ $$=4\left|\sin\left(\frac{x+y}{2}\right)\cos\left(\frac{x-y}{2}\right)\cos\left(\frac{x+y}{2}\right)\sin \left(\frac{x-y}{2}\right)\right|\lt4\left|\sin \left(\frac{x+y}{2}\right)\sin\left(\frac{x-y}{2}\right)\right|\tag{1}$$ $$\lt \left|(x-y)(x+y)\right|<\left|(x+y)\right|\delta,$$lo cual depende de $x$ por lo que $\sin^2\!x$ no es uniformemente continuo.
¿Es esta solución correcta o no? Tengo algunas dudas sobre la validez de la desigualdad $(1)$ también, si es correcta, ¿por qué?

Answer 1

No estoy seguro si estás "autorizado" para utilizar este método, pero para empezar:

Nota que la derivada $2\sin x\cos x$ está acotada entre $[-2,2]$

Ahora queremos demostrar que para cualquier $\epsilon$, podemos elegir $\delta$ de modo que $|x-y|<\delta$ implica $|\sin^2x-\sin^2y|<\epsilon$.

Y como la derivada está acotada, tenemos que para todos los $x,y$ $$\left|\frac{\sin^2x-\sin^2y}{x-y}\right|\le 2$$

Y probablemente puedas continuar a partir de aquí.

Answer 2

Llevando tu idea más allá, tenemos para $|x-y| < \delta(\epsilon) = \epsilon/2$

$$|\sin^2 x - \sin^2 y|= |\sin x + \sin y||\sin x - \sin y| \\ \leqslant 2 |\sin x - \sin y|\\ = 4\left|\sin\left(\frac{x-y}{2}\right)\right|\left|\cos\left(\frac{x+y}{2}\right)\right| \\ \leqslant 4\left|\sin\left(\frac{x-y}{2}\right)\right|\\ \leqslant 2|x-y| \\< \epsilon.$$

Answer 3

Hay otro enfoque elegante que es más general:

Lema: Si $f:[a,b]\to\mathbb{R}$ es continua, entonces es uniformemente continua Prueba: Consulta cualquier libro de Cálculo.

Corolario: Si $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ es continua y periódica, entonces es uniformemente continua.

Prueba: Supongamos que $f(x)=f(x+p)$ para todo $x$ y $p>0$. En $[0,p]$, por el Lema, $f$ es uniformemente continua. Sea $\epsilon>0$. Entonces, existe $\delta>0$ tal que si $|x-y|<\delta$ y $x,y\in[0,p]$, entonces $|f(x)-f(y)|<\epsilon$. Ahora, si $a,b\in\mathbb{R}$ satisfacen $|a-b|<\delta$, existen $x,y\in[0,p]$ tales que $f(a)=f(x)$, $f(b)=f(y)$ y $|a-b|=|x-y|$ y hemos terminado.

Por lo tanto, $\sin^2$ es uniformemente continua.