Espectro de transformación unitaria

Question

Sea $T: \operatorname{dom}(T) \rightarrow H$ autoadjunto, entonces $U(T):=(T+i)(T-i)^{-1}$ está definido y es unitario (esto me parece claro). Además, tenemos que $\sigma(U(T)):= \overline{\{ t; \exists y \in \sigma(T): t = \frac{y+i}{y-i}\}}$, es decir, $1 \notin \sigma(U(T)).$ Supongo que hay un truco sutil para demostrar esto que actualmente no logro ver. Espero que alguien aquí sepa cómo hacerlo.

Si algo no está claro, por favor házmelo saber.

Answer 1

Este es el enfoque de fuerza bruta: $$ \begin{align} (T+iI)(T-iI)^{-1}-\lambda I & = (T+iI)(T-iI)^{-1}-\lambda(T-iI)(T-iI)^{-1} \\ & = (T+iI-\lambda T+\lambda iI)(T-iI)^{-1} \\ & = ((1-\lambda)T+i(1+\lambda)I)(T-iI)^{-1} \\ & = (1-\lambda)(T+i\frac{1+\lambda}{1-\lambda})(T-iI)^{-1} \end{align} $$ El anterior es invertible si y solo si $-i(1+\lambda)/(1-\lambda) \notin\sigma(T)$. Si $\mu \in \sigma(T)$, entonces $$ -i\frac{1+\lambda}{1-\lambda} = \mu \iff \lambda = \frac{\mu+i}{\mu-i}. $$ Hay un caso especial que debe considerarse, pero lo dejaré.