Si $A \cap B \cap C = \varnothing$, ¿uno de $A \cap B$, $B \cap C$ o $C \cap A$ también está vacío?

Question

¿Cómo doy un contraejemplo a esto?

Demuestra o encuentra un contraejemplo para la siguiente afirmación:

Para todos los conjuntos $A$, $B$, $C$ si $A\cap B\cap C=\varnothing$, entonces o bien $A\cap B=\varnothing$ o $A\cap C=\varnothing$ o $B\cap C=\varnothing$.

Answer 1

Esta afirmación es claramente falsa: significa que si tres conjuntos no tienen ningún elemento en común, un par de ellos no tiene ningún elemento en común.

Contraejemplo: $\,A=\{1,2\},\enspace B=\{2,3\},\enspace C=\{3,1\}$.

Answer 2

Toma $A = \{1,2,3\}$, $B = \{2,3,4\}$, $C = \{1,5,6\}$. Entonces $A\cap B\cap C = \varnothing$, pero $A\cap B\neq\varnothing$, $B\cap C\neq\varnothing$ y $C\cap A\neq\varnothing

.

Answer 3

Digamos que tenemos los conjuntos $A = \{ a, b, c \}, B = \{ a, d, e \}, C = \{ f, b, e \}$

$A \cap B = \{ a \}$

$A \cap C = \{ b \}$

$B \cap C = \{ e \}$

Pero

$A \cap B \cap C = \varnothing$

porque $a, b, e$ no están en los 3 conjuntos

Es claro que si hay al menos $1$ elemento común entre cualquier $2$ conjuntos, entonces la intersección de esos $2$ conjuntos serán los elementos comunes. Si ninguno de estos elementos es común entre todos los conjuntos, entonces la intersección de todos ellos es el conjunto nulo.