$f$ es continua si y solo si $\text{osc}(f,x) = 0$ en un espacio de Hausdorff genérico

Question

Sea $(X,\tau)$ un espacio topológico de Hausdorff y $f:X\rightarrow \mathbb{R}$ una función. Sea $x\in X$ y $U(x)$ siendo el conjunto de conjuntos de vecindad de $x$. Defina la oscilación de $f$ en $x$ por $$\text{osc}(f,x) = \inf_{V \in U(x)}\bigg\{\sup \big\{|f(z) - f(y)| : z, y \in V\big\}\bigg\}.$$

Demuestre que $f$ es continua si y solo si $\text{osc}(f,x) = 0$, el conjunto $\{x \in X : \text{osc}(f) \geq \varepsilon\}$, donde $\varepsilon \geq 0$, es cerrado y que los conjuntos: $$\{x \in X : f \text{ continua en } \ x\} \quad \{x \in X : f \text{ no continua en } \ x\}$$ son un conjunto $G_\delta$ y un conjunto $F_\sigma$ respectivamente. He visto muchas soluciones a este problema, pero todas tienen en común que $X$ es un espacio métrico, pero no tengo ninguna métrica con la que trabajar, así que ni siquiera sé cómo abordar este problema.

Answer 1

1. $f$ es continuo en $x$ $\Leftrightarrow$ $\operatorname{osc}(f,x) = 0$:

$\Rightarrow$: Sea $\epsilon > 0$. Existe $V \in U(x)$ tal que $\lvert f(y) - f(x) \rvert < \epsilon/2$ para todo $y \in V$. Entonces para todo $y,z \in V$ tenemos $\lvert f(y) - f(z) \rvert < \epsilon$, así que $\sup \big\{|f(z) - f(y)| : z, y \in V\big\} \le \epsilon$. Por lo tanto, $\operatorname{osc}(f,x) \le \epsilon$ para todo $\epsilon > 0$. Concluimos que $\operatorname{osc}(f,x) = 0$.

$\Leftarrow$: Sea $\epsilon > 0$. Como $\operatorname{osc}(f,x) = 0$, existe $V \in U(x)$ tal que $\sup \big\{|f(z) - f(y)| : z, y \in V\big\} <\epsilon$. Por lo tanto, $\lvert f(y) - f(x) \rvert < \epsilon$ para todo $y \in V$.

2. $\{x \in X :\operatorname{osc}(f,x) \geq \varepsilon\}$ es cerrado:

Esto es lo mismo que decir que $X_\epsilon = \{x \in X :\operatorname{osc}(f,x) < \varepsilon\}$ es abierto. Así que sea $x \in X_\epsilon$. Existe $V \in U(x)$ tal que $\sup \big\{|f(z) - f(y)| : z, y \in V\big\} < \epsilon$. Afirmamos que $V \subset X_\epsilon$. Si $x' \in V$, entonces claramente $V \in U(x')$. Dado que $\sup \big\{|f(z) - f(y)| : z, y \in V\big\} < \epsilon$, vemos que $\operatorname{osc}(f,x') < \varepsilon$, es decir, $x' \in X_\epsilon$.

3. $\{x \in X : f$ es continua en $x\}$ es un conjunto $G_\delta$:

Tenemos que $\operatorname{osc}(f,x) = 0$ si y solo si $\operatorname{osc}(f,x) < 1/n$ para todo $n$, es decir, $x \in X_{1/n}$ para todo $n$. Por lo tanto, $$\{x \in X : f$ es continua en $x\} =\{x \in X : \operatorname{osc}(f,x) = 0 \} = \bigcap_{n=1}^\infty X_{1/n}$$

4. $\{x \in X : f$ no es continua en $x\}$ es un conjunto $F_\sigma$:

Este conjunto es el complemento del conjunto $G_\delta$ $\{x \in X : f$ es continua en $x\}$, por lo tanto es un conjunto $F_\sigma$.

Observación:

No hemos utilizado que $X$ sea Hausdorff.