Creando un mapa desde $x \in [-1,1]$ hasta $y\in\mathbb{R}^2$ tal que $y_1 - y_2$ sea 1-1 con respecto a $x$

Question

La línea de asunto prácticamente dice lo que necesito hacer, es decir, quiero crear un mapeo de $x \in [-1,1]$ a $y \in \mathbb{R}^2$ con la siguiente propiedad: para cada $x, x' \in [-1,1]$, $( y_1(x) - y_2(x) ) \ne ( y_1(x') - y_2(x') )$. Obviamente puedo hacer esto de forma paramétrica, pero me pregunto si hay alguna propiedad no paramétrica que pueda invocar que implique mi condición. Me parece muy poco probable, pero ustedes son mucho más inteligentes que yo, así que pensé en intentarlo...

Answer 1

Define tu función como $$f(x)=(x,1)$$ Ten en cuenta que si $x \ne x'$, entonces $1-x \ne 1-x'$

Por lo tanto, esta función cumple con tu condición.

Answer 2

Sugerencia.- Considera $x\to (e^{x+1}, e^x)$ y el hecho de que $g(x)=e^{x+1}-e^x$ es uno a uno.