Una pregunta relacionada con la función coseno

Question

Para un $n$ fijo de $\mathbb{N}$, demuestra que

$\cos(\frac{jr\pi}{n})\neq 1$ si y solo si $\gcd(j,2n)=1$, donde $1\leq j,r\leq (n-1)$.

Answer 1

$\cos(\frac{jr\pi}{n}) = 1$ si y solo si $\frac{jr\pi}{n} = 2k\pi$ para todo $k \in \mathbb{Z}$. En particular, toma k=1, Entonces $\frac{jr}{n}=2$ es decir $jr=2n$ $\Rightarrow$ j divide a 2n. Entonces, si j>1 $gcd(j,2n)\neq 1$. si j es 1 es fácil de probar.