Sup y inf pregunta extendida - aplicando la definición para demostrar lemas

Question

Supongamos que $S\subseteq\mathbb{R}$ es un conjunto acotado no vacío donde inf($S$)$=a\geq 0$ y sup($S$)$=b$. Sea $T=\{z^2:z\in S\}$.

(a) Demuestra que $a^2$ y $b^2$ son respectivamente cota inferior y cota superior para $T$, y por lo tanto que inf($T$)$\geq a^2$ y sup($T$)$\leq b^2$.

(b) Supongamos que $(x_n)_{n\in\mathbb{N}}$ es una sucesión convergente para la cual $x_n\in S$ para todo $n\in\mathbb{N}$ y $x_n\rightarrow x$ cuando $n\rightarrow\infty$. Demuestra que $a\leq x\leq b$.

(c) Demuestra a partir de la definición de sup e inf que dado cualquier $h>0$ existe $x,y\in S$ tal que $x y $y>b-h$. Tomando $h=\frac{1}{n}$, y aplicando el Teorema del sandwich, demuestra que existen sucesiones $a_n,b_n$ tales que $a_n\rightarrow a$ y $b_n\rightarrow b$.

He demostrado la primera parte de (a), ¿pero seguramente la parte relacionada con inf y sup se sigue inmediatamente? ¿Qué podría decir para justificar esto? Para la parte (b) dije que si $x_n$ converge a $x$ entonces por definición de convergencia tenemos $x-\varepsilon. Sin embargo, no sé cómo formalizar la afirmación de que $inf(S)\leq x_n\leq sup(S)$. Además, para la parte (c) creo que la afirmación es literalmente la definición de inf y sup, por lo que requiere poco comentario. ¡Me costó usar el teorema del sandwich para probar la afirmación sobre las sucesiones!

Answer 1

Sí, la segunda parte de a) se sigue del hecho de que el ínfimo es el mayor límite inferior y el supremo es el menor límite superior.

Puedes tomar límites en ambos lados de una desigualdad. Entonces, dejando que $n \to \infty$ en $\inf S \leq x_n \leq \sup S$ da $\inf S \leq x \leq \sup S$.

En la última parte tenemos $a \leq x_n para algún $n$ (con $x_n \in S$). Ahora $|x_n-a| \leq \frac 1 n $ entonces $x_n \to a$. Un argumento similar da una secuencia que converge a $b$.

Answer 2

1. Sí, se deduce inmediatamente de las definiciones de supremo e ínfimo.
2. Supongamos que $x. Entonces existe un $N\in\Bbb N$ tal que $n\geqslant N\implies|x-x_n|. Pero entonces$$x_n-x=-(x-x_n)\leqslant|x-x_n|y así $x_n, lo cual es imposible.
3. Para cada $n\in\Bbb N$, $a\leqslant a_n, y así, por el teorema del sandwich, $\lim_{n\to\infty}a_n=a$.