¿Sería esta una respuesta aceptable para la inversa de la función piso?

Question

Este problema es de Matemáticas Discretas y sus aplicaciones

Y la definición del libro sobre el inverso

¿Sería una respuesta aceptable para 43b simplemente el conjunto en sí mismo? Lo que me gusta pensar sobre el inverso es qué entrada pasaste para obtener esta salida. Se puede pasar {-1, 0, 1} a la función piso para obtener {-1, 0, 1}. ¿Es esta la forma correcta de pensar en este problema? ¿O es mejor introducir 3 variables separadas, digamos x, y, y z, y mostrar el intervalo de valores que se pueden pasar a la función piso para obtener este conjunto.

Answer 1

Hay una sobrecarga aquí, del símbolo $f^{-1}$.

Si $R$ es una relación binaria, entonces $R^{-1}=\{(a,b)\mid (b,a)\in R\}$, y cuando $f$ es una función inyectiva podemos demostrar que $f^{-1}$ también es una función inyectiva (aquí una función es simplemente un conjunto de pares ordenados con una propiedad particular). En el caso que llamamos a $f^{-1}$ la función inversa.

Pero si $f$ no es una función inyectiva entonces $f^{-1}$ no es una función, es una relación binaria. En ese caso usamos $f^{-1}$ para denotar la función de la preimagen, que es una función que mapea subconjuntos del rango (o codominio) a subconjuntos del dominio. Es decir, $f^{-1}(A)=\{x\in X\mid f(x)\in A\}$.

Nota, que si $f$ es de hecho inyectiva, entonces para cada singleton, $\{b\}$ su preimagen es a lo sumo un $\{a\}$ para algún $a$ en el dominio.

Se te pide que encuentres la preimagen, que es el conjunto de todos los valores que se están mapeando en el conjunto dado. Por lo tanto, escribir $g^{-1}(\{-1,0,1\})=\{-1,0,1\}$ es evidentemente incorrecto, ya que hay muchos números que se están mapeando a esos tres valores, no solo los tres.

Answer 2

Tienes razón en que $-1, 0,$ y $1$ son soluciones por sí mismas. Y tu definición intuitiva de la inversa también es correcta, por lo que no necesitas introducir tres variables.

Reformulando tu intuición, simplemente imagina qué números reales $x$ cuando se introducen en la función piso darán como resultado $-1, 0,$ o $1$.

Por ejemplo, $1.1$ se asigna a $1$. Y lo mismo sucede con $1.0001, 1.23,$ y $1.999$.

De manera similar, $-0.5$ se asigna a $-1$. Y lo mismo ocurre con $-0.01$ y $-0.9999$.

¿Puedes ver el patrón ahora?

Answer 3

Sospecho que la pregunta no se refiere al inverso, sino más bien a la preimagen. No solo permitiría que la pregunta esté bien definida, sino que también explicaría por qué escribieron $g^{-1}(\{0\})$ en lugar de $g^{-1}(0)$.

Answer 4

$$\newcommand{\f}[1]{\left\lfloor#1\right\rfloor} g(x)=\f x$$ Ahora si: $$g^{-1}(x)=y$$ Esto tendría sentido que: $$\f y=x$$ Entonces: $$g^{-1}(\{0\})=k\implies \f k=0\implies k\in[0,1)$$ Si $$g^{-1}(\{-1,0,1\})=k\implies \f k\in{-1,0,1}\implies k\in[-1,2)$$ Y: $$g^{-1}(\{x\mid0