¿Por qué $O(4n,\mathbb{C})$ (grupo ortogonal) actúa de forma transitiva en el espacio de isotrópicos máximos de $V\bigotimes \mathbb{C}$?

Question

Decimos que $L< (V\oplus V^{*})\bigotimes \mathbb{C}$ es isotrópico cuando $< X,Y>=0$ para todo $X,Y\in L$

¿Por qué $O(4n,\mathbb{C})$ (grupo ortogonal) actúa de forma transitiva en el espacio de isotrópicos máximos de $V\bigotimes \mathbb{C}$?

(aquí $V$ es un espacio vectorial de dimensión finita $2n$)

Answer 1

Creo que se puede demostrar una afirmación más general a lo largo de la siguiente línea:

Sea $V= \mathbb R^n$. Entonces, en $W:= V\oplus V^*$, la forma bilineal simétrica $((v,v^*)|(w,w^*)) = \langle w^*,v\rangle + \langle v^*, w\rangle$ tiene signatura $(n,n)$. Ahora somos bastante similares a un espacio vectorial simpléctico. Dado un isotrópico $L$, elige una base $w_1,\dots w_n$ de $L$. Luego $(w_i|w_j)=0$ para todos $i,j$. Podemos extender esto a una base $w_1,\dots,w_n, w^1,\dots,w^n$ de $W$ de tal manera que $(w_i,w_j)=0$, $(w^i,w^j)=0$ para todos $i,j$ y $(w_i,w^j)=\delta_i^j. Entonces $w^1,\dots, w^n$ abarca un subespacio isotrópico complementario. El grupo $O(n,n,\mathbb R)$ actúa de manera transitiva en el conjunto de todas esas bases. Así actúa de manera transitiva en el conjunto de pares de subespacios isotrópicos complementarios. Y también de manera transitiva en el conjunto de subespacios isotrópicos. Ahora $O(2n,\mathbb C)$ es la complejificación de $O(n,n,\mathbb R)$.