Rudin. Principios de Análisis Matemático. Teorema 9.24

Question

¿Es correcto el teorema 9.24 (Teorema de la función inversa)?

En (49)-(50) muestra que la función es una contracción. Pero es una contracción de una bola abierta en una bola abierta. Ese no es un espacio métrico completo.

Actualización: el teorema está abajo. La parte con la que no estoy seguro está en cursiva.

Teorema Supongamos que $f$ es una función continuamente diferenciable de un conjunto abierto $E \in R^n$ en $R^n$, $f'(a)$ es invertible para algún $a \in E$, y $b=f(a)$. Entonces existen conjuntos abiertos $U$ y $V$ en $R^n$ tales que $a \in U$, $b \in V$, $f$ es biyectiva en $U$ y $f(U)=V.

Prueba

Pongamos $f'(a)=A$ y elijamos $\lambda = \frac{1}{2\|A^{-1}\|}$.

Dado que $f'$ es continua en $a$, existe una bola abierta $U \in E$, centrada en $a$ tal que

$\|f'(x) - A\| < \lambda$ para $x \in U$

Para cada $y \in R^n$ pongamos $\phi(x) = x + A^{-1}(y-f(x))$ para $x \in E$.

$\phi'(x) = I - A^{-1}f'(x) = A^{-1}(A-f'(x))$ entonces $\|\phi'(x)\| < \frac{1}{2}$. Por lo tanto, debido a que $U$ es convexo, obtenemos $|\phi(x_1) - \phi(x_2)| \le \frac{1}{2}|x_1 - x_2|$. Luego, $\phi(x)$ es una contracción y tiene un punto fijo en $U$, de modo que $f(x)=y$ como máximo para un $x \in U$.

Answer 1

El teorema está correcto tal como está escrito. Todo lo que Rudin ha demostrado es que el mapa es una contracción, por lo que hay a lo sumo uno punto fijo del mapa $\varphi$. De hecho, si $\varphi(x) = x$ y $\varphi(y) = y$ para dos puntos diferentes $x\ne y$, entonces $|x-y|>0$, por lo que $|x-y|=|\varphi(x)-\varphi(y)| \le \frac{1}{2}|x-y|$, lo cual claramente es imposible.

Sin embargo, notaste que si la afirmación fuera existe un punto fijo, entonces el espacio tendría que ser completo. Para este propósito, bastaría con que el conjunto en cuestión fuera cerrado. Dado que el conjunto en cuestión es abierto, bien podría no ser completo.