¿Es correcto el teorema 9.24 (Teorema de la función inversa)?
En (49)-(50) muestra que la función es una contracción. Pero es una contracción de una bola abierta en una bola abierta. Ese no es un espacio métrico completo.
Actualización: el teorema está abajo. La parte con la que no estoy seguro está en cursiva.
Teorema Supongamos que $f$ es una función continuamente diferenciable de un conjunto abierto $E \in R^n$ en $R^n$, $f'(a)$ es invertible para algún $a \in E$, y $b=f(a)$. Entonces existen conjuntos abiertos $U$ y $V$ en $R^n$ tales que $a \in U$, $b \in V$, $f$ es biyectiva en $U$ y $f(U)=V.
Prueba
Pongamos $f'(a)=A$ y elijamos $\lambda = \frac{1}{2\|A^{-1}\|}$.
Dado que $f'$ es continua en $a$, existe una bola abierta $U \in E$, centrada en $a$ tal que
$\|f'(x) - A\| < \lambda$ para $x \in U$
Para cada $y \in R^n$ pongamos $\phi(x) = x + A^{-1}(y-f(x))$ para $x \in E$.
$\phi'(x) = I - A^{-1}f'(x) = A^{-1}(A-f'(x))$ entonces $\|\phi'(x)\| < \frac{1}{2}$. Por lo tanto, debido a que $U$ es convexo, obtenemos $|\phi(x_1) - \phi(x_2)| \le \frac{1}{2}|x_1 - x_2|$. Luego, $\phi(x)$ es una contracción y tiene un punto fijo en $U$, de modo que $f(x)=y$ como máximo para un $x \in U$.
