Encontrar la ecuación de un círculo tangente a dos líneas

Question

Encuentra la ecuación del círculo tangente al eje $x$ en el origen y tangente a la recta $4x-3y+24=0$.

Mi enfoque:

Sea la ecuación del círculo requerido: $$x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$$

Sea la ecuación de la tangente en el origen $(0,0)$ al círculo anterior $gx+fy+c=0$.

Entonces, ¿qué debo hacer? Por favor, ayúdame a continuar.

Gracias de antemano.

Answer 1

Como el círculo toca el eje x en (0,0) entonces el centro del círculo debe estar en el eje y y la coordenada y del centro debe ser igual al radio. Así que el centro es $(0,r)$. Entonces la ecuación es:

$$x^2+(y-r)^2=r^2$$

Luego quieres encontrar el punto de intersección del círculo y la línea recta. Reorganicemos la línea recta:

$$x=\frac{3y-24}{4}$$

Sustituyendo:

$$\left(\frac{3y-24}{4}\right)^2+(y-r)^2=r^2$$

Multiplica por $4^2$ para deshacerte de las fracciones:

$$(3y-24)^2+16(y-r)^2=16r^2$$

Expande:

$$9y^2-144y+576+16y^2-32yr+16r^2=16r^2$$

Recolecta y ordena por potencias de $y$:

$$25y^2-16(2r+9)y +576=0$$

Ahora esperamos que solo haya un punto de intersección, por lo que esta cuadrática debería tener una sola solución. Esto ocurre cuando el discriminante es cero.

$$(16(2r+9))^2-4\cdot25\cdot576=0$$

Saca el término $16^2$ y factoriza $576$ en preparación para dividir el factor común.

$$256(2r+9)^2-4\cdot25\cdot64\cdot9=0$$

Divide por el factor común de $256$.

$$(2r+9)^2-25\cdot9=0$$

Expande y multiplica:

$$4r^2+36r+81-225=0$$

Recolecta:

$$4r^2+36r-144=0$$

Divide por 4:

$$r^2+9r-36=0$$

Factoriza:

$$(r-3)(r+12)=0$$

Resuelve:

Entonces $r=3$ o $r=-12$

Ten en cuenta que $r=-12$ es una solución válida. Significa que el círculo está debajo del eje donde anteriormente asumimos que estaba arriba del eje (cuando establecimos el centro en $(0,r)$).

Entonces las dos soluciones son: $x^2+(y-3)^2=3^2$ y $x^2+(y+12)^2=12^2$

O en forma expandida: $x^2+y^2-6y=0$ y $x^2+y^2+24y=0$

Answer 2

Un círculo tangente al eje $x$ en $(0,0)$ tiene su centro en $C_0(0,y_0)$ y su radio es $|y_0|$. Por lo tanto, su ecuación tiene la forma:

$$\tag{1}x^2+(y-y_0)^2=y_0^2$$

La distancia desde el centro $C_0(x_0,y_0)=(0,y_0)$ del círculo hasta la línea recta es (ver (http://mathworld.wolfram.com/Point-LineDistance2-Dimensional.html)):

$$\frac{|4x_0-3y_0+24|}{\sqrt{4^2+(-3)^2}}=\frac{|-3y_0+24|}{5}$$

Esta distancia debe ser igual al radio $|y_0|$ lo que nos da la siguiente ecuación:

$$\frac{|-3y_0+24|}{5}=|y_0| \ \ \Leftrightarrow \ \ -3y_0+24=\pm 5 y_0$$

que tiene 2 soluciones: $y_0=3$ o $y_0=-12$ dando, (ver (1)):

• o bien la ecuación $x^2+(y-3)^2=3^2$ es decir, $x^2+y^2-6y=0$ (centro $(0,3)$, radio 3),

• o la ecuación $x^2+(y+12)^2=12^2$ es decir, $x^2+y^2+24y=0$ (centro $(0,-12)$, radio = 12).