Demuestre o refuta que una ecuación que involucra una función trigonométrica (ya sea $\sin, \cos, \tan$, etc) con un argumento de la forma $ax+b$ para $a, b$ racionales no nulos y un polinomio con coeficientes racionales no nulos y un término constante no igual a $\pm1$ o cero no es soluble en forma cerrada. Por ejemplo,
$$\sin(x)=2-x-x^2$$
Tiene soluciones cerca de $x=0.752$ y $x=-2.242$
Mi razonamiento por el cual no hay una solución en forma cerrada es porque
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Si $x$ es un múltiplo racional de $\pi$, el LHS es algebraico, mientras que el RHS es trascendental.
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Si $x$ es de la forma $x=\arcsin(u)\ne\frac ab\pi$ y $u$ es algebraico, entonces el LHS es algebraico pero el RHS... no es algebraico? Ver Cuando ArcTan un múltiplo racional de pi? para más información.
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Si $x$ no es ninguna de las anteriores, no creo que exista una solución en forma cerrada dado que $\sin(x)$ no puede ser calculado en forma cerrada y tampoco puede $2-x-x^2$.
¿Alguien puede probar esta idea general?
¿Si es solucionable, entonces bajo qué condiciones?
Intentando reducir la cantidad de preguntas que piden soluciones en forma cerrada en estos escenarios, como
Ecuación algebraica no lineal con función trigonométrica
etc.
Para aclarar, en este contexto "forma cerrada" es una solución en términos de constantes bien conocidas y una combinación finita de funciones bien conocidas.
