Escribiendo 2024 como la suma de 3 y 4 cuadrados

Question

Actualmente estoy tomando un curso de teoría de números y acabamos de ver que cualquier número se puede escribir como la suma de 4 cuadrados, y que los números se pueden escribir como la suma de 3 si no son de cierta forma.

Las notas dieron un ejemplo usando 2024

$2024=44^2+4^2+6^2+6^2$ y luego deja encontrar si es posible encontrar una suma de 3 como ejercicio.

Mi primera pregunta es si hay una forma sistemática de encontrar algunos 4 números de manera que tengas $n=x^2+y^2+z^2+w^2$ para cualquier $n$ que elijas, al menos para números más pequeños.

En cuanto al ejercicio, sé que las sumas de 3 existen dado que 2024 no es de la forma $4^a(8b+7)$, y después de algunos intentos a ciegas adiviné 8, 14, 42 y 10, 30, 32 como tríos que funcionan. Pero esto fue solo probando valores y viendo si funcionaba, ¿hay una mejor manera de encontrar estos tríos? He tenido algunas ideas en la línea de encontrar una suma de 4 de manera que 2 de ellos estén en una terna pitagórica, pero esto no parece ayudar mucho porque aún tengo que encontrar la suma de 4.

Answer 1

Para cuatro cuadrados, una forma algo sistemática de proceder es encontrar la factorización prima y luego reducir a representar cada primo como una suma de cuatro cuadrados. Por ejemplo, $2024 = 2^3 \cdot 11 \cdot 23$. Tenemos $11 = 3^2 + 1^2 + 1^2 + 0^2$ y $23 = 3^2 + 3^2 + 2^2 + 1^2$. Luego usar sistemáticamente la identidad (espero que esté bien; estoy multiplicando cuaterniones en mi cabeza)

$$(a^2 + b^2 + c^2 + d^2)(x^2 + y^2 + z^2 + w^2) = (ax - by - cz - dw)^2 + (ay + bx + cw - dz)^2 + (az + cx + dy - bw)^2 + (aw + dx + bz - cy)^2$$ que muestra que las sumas de cuatro cuadrados están cerradas bajo la multiplicación.

(Más sistemático aún, el artículo de Wikipedia vinculado por JMoravitz en un comentario proporciona una referencia a un algoritmo debido a Rabin y Shallitt para encontrar los cuatro cuadrados, pero no lo he visto.)

Answer 2

Decidí factorizar la potencia de cuatro, entonces $2024 = 4 \cdot 506$. Luego, cualquier suma de cuadrados para $506$ puede ser fácilmente convertida en una suma de cuadrados para el original $2024$.

Para obtener una suma de tres cuadrados, necesitamos restar un cuadrado que nos deje con un número que es una suma de dos cuadrados. Necesitaremos un cuadrado impar en algún punto, así que intenté restando $81$:

$$ 506 - 81 = 5^2 \cdot 17 = 5^2 + 20^2 $$

Luego $2024 = 4(9^2 + 5^2 + 20^2)$ nos da una suma de tres cuadrados. Además, $5^2 = 3^2 + 4^2$ es un triángulo pitagórico bien conocido, así que la suma de cuatro cuadrados rápidamente sigue.