Consider $$C([0,T] ; L^1(\mathbb{R}^{N}) \cap L^{\infty}(\mathbb{R}^{N})) := \{ u:(0,T) \rightarrow L^1(\mathbb{R}^{N}) \cap L^{\infty}(\mathbb{R}^{N}) \ | \ \text{u continuous on }[0,T] \}$$ con $T>0$, $N \in \mathbb{N}$. Estoy leyendo un artículo que utiliza el Teorema del Punto Fijo de Banach para una aplicación de contracción $\phi$ en el subconjunto cerrado
$$B := \{ u \in C([0,T] ; L^1(\mathbb{R}^{N}) \cap L^{\infty}(\mathbb{R}^{N})) \ | \ ||u|| \leq R \}$$ con $R \in \mathbb{R}$ siendo alguna constante. La norma $||u||$ se define de la siguiente manera:
$$||u|| := \sup_{0 < t < T} \left(||u(t)||_{L^{1}(\mathbb{R^{N}})} + ||u(t)||_{L^{\infty}(\mathbb{R^{N}})}\right)$$
Al mirar la declaración del Teorema del Punto Fijo de Banach, noté que el espacio métrico en cuestión debe ser completo. Me ha costado trabajo demostrar que $C([0,T] ; L^1(\mathbb{R}^{N}) \cap L^{\infty}(\mathbb{R}^{N}))$ es completo bajo la norma $||\cdot||$, así que me pregunto si incluso es un espacio completo?
Si no lo es, ¿podemos usar un subconjunto cerrado (y por lo tanto cauchy) de un espacio métrico con fines del Teorema del Punto Fijo de Banach?
