Demostrar que $\sqrt{a^2+3b^2}+\sqrt{b^2+3c^2}+\sqrt{c^2+3a^2}\geq6$ si $(a+b+c)^2(a^2+b^2+c^2)=27$

Question

Que $a$, $b$ y $c$ sean números no negativos tales que $(a+b+c)^2(a^2+b^2+c^2)=27$. Demuestra que: $$\sqrt{a^2+3b^2}+\sqrt{b^2+3c^2}+\sqrt{c^2+3a^2}\geq6$$

Un gran problema aquí alrededor de $(a,b,c)=(1.6185...,0.71686...,0.4926...)$.

En este caso obtenemos $\sum\limits_{cíc}\sqrt{a^2+3b^2}-6=0.000563...$.

Mi intento.

Sea $a^2+3b^2=4x^2$, $b^2+3c^2=4y^2$ y $c^2+3a^2=4z^2$, donde $x$, $y$ y $z$ no negativos.

Por lo tanto, necesitamos demostrar que $$\sum\limits_{cíc}\sqrt{x^2-3y^2+9z^2}\leq\frac{\sqrt7(x+y+z)^2}{\sqrt{3(x^2+y^2+z^2)}}$$

Sean $k$ y $m$ no negativos, para que

$x-ky+mz>0$, $y-kz+mx>0$, $z-kx+my>0$ y $1-k+m>0$.

Por C-S $\left(\sum\limits_{cíc}\sqrt{x^2-3y^2+9z^2}\right)^2\leq(1-k+m)(x+y+z)\sum\limits_{cíc}\frac{x^2-3y^2+9z^2}{x-ky+mz}$

Por lo tanto, queda por demostrar que $$(1-k+m)\sum\limits_{cíc}\frac{x^2-3y^2+9z^2}{x-ky+mz}\leq\frac{7(x+y+z)^3}{3(x^2+y^2+z^2)}$$

Es un sexto grado, pero no encontré valores de $k$ y $m$ tales que la última desigualdad sea verdadera.

De esta manera podemos demostrar que $\sum\limits_{cíc}\sqrt{a^2+2b^2}\geq3\sqrt3$ es verdadero, pero no es reconfortante.

También intenté usar Holder, pero sin éxito.

¡Gracias!

Answer 1

Parece haber errores en el segmento después de donde marqué "***". Necesario para revisar.
Cuando vi la forma $\sqrt{a^2+3b^2}$ pensé en el valor absoluto de un número complejo.
Así que sea $$u=a+\sqrt{3}bi$$ $$v=b+\sqrt{3}ci$$ $$w=c+\sqrt{3}ai$$ Y ahora lo que quieres probar se convierte en $$|u|+|v|+|w|\geq6$$

$$u+v+w=(1+\sqrt{3}i)(a+b+c)$$ $$|u|^2+|v|^2+|w|^2=4(a^2+b^2+c^2)$$
$$(u+v+w)^2(|u|^2+|v|^2+|w|^2)$$ $$=(1+\sqrt{3}i)^2(a+b+c)^2\cdot4(a^2+b^2+c^2)$$ $$=4(1+\sqrt{3}i)^2(a+b+c)^2(a^2+b^2+c^2)$$ $$=4(1+\sqrt{3}i)^2\cdot27$$
$$|u+v+w|^2(|u|^2+|v|^2+|w|^2)=|4(1+\sqrt{3}i)^2\cdot27|=4\cdot27\cdot4$$ Ahora pensé que debería separar $|u+v+w|$ en $|u|+|v|+|w|$ para que todos los elementos en la expresión fueran independientes, $|u|$, $|v|$, $|w|, y su forma estaría más cerca de la desigualdad que queremos probar.
Así que usé la desigualdad del triángulo, $$|u|+|v|+|w|\geq|u+v|+|w|\geq|u+v+w|$$ $$(|u|+|v|+|w|)^2(|u|^2+|v|^2+|w|^2)\geq|u+v+w|^2(|u|^2+|v|^2+|w|^2)=4\cdot27\cdot4$$ Sea $x=|u|,\ \ y=|v|,\ \ z=|w|$
Entonces el problema se convierte en, $$\mathrm{si\ \ }(x+y+z)^2(x^2+y^2+z^2)\geq4\cdot27\cdot4$$ $$\mathrm{probar\ que\ \ }x+y+z\geq6$$ Prueba:
sea $k$ un número de manera que $x+y+z\geq k\geq0$ sea siempre verdadero.
Una fórmula conocida: $$(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2=3(x^2+y^2+z^2)-(x+y+z)^2\geq0$$ ***Entonces $$3(x^2+y^2+z^2)\geq(x+y+z)^2\geq k^2$$ $$\implies (x+y+z)^2(x^2+y^2+z^2)\geq k^2\cdot\frac{k^2}{3}=\frac{k^4}{3}$$ Pero ya se sabe que $(x+y+z)^2(x^2+y^2+z^2)\geq4\cdot27\cdot4$ tiene que ser verdadero. Entonces, para que $$(x+y+z)^2(x^2+y^2+z^2)\geq\frac{k^4}{3}$$ sea siempre verdadero, $$\frac{k^4}{3}\leq4\cdot27\cdot4$$ $$k\leq6$$ Esta prueba no necesita que $a,b,c\geq0$. Solo necesita que sean números reales.