Ext entre dos coherente con poleas

Question

Deje $X$ ser un suave proyectiva variedad, más de un campo de $k = \overline k$. De Hartshorne sabemos, que $\textrm{dim} \, H^i (X,F)<\infty$ para cualquier coherente gavilla $F$.

Cómo mostrar, que todos los $Ext^i (F,G)$ son finito-dimensional para la coherencia $F$$G$? Y cómo mostrar, que para $F,G \in D^b (Coh(X))$ : $Ext^i (F,G)$ son finito-dimensional?

Puede ser, debemos utilizar una secuencia espectral $E^{p,q}_2 = Ext^p (F, H^q(G)) \Rightarrow Ext^{p+q} (F,G)$?

Answer 1

Voy a tratar de hacer de la no-derivado de la categoría de caso.

Deje $X$ ser una variedad proyectiva sobre $k$. Vamos a hacer una inducción en $i$. El resultado es claro para $i=0$, ya que en este caso

$Ext^{0}(\mathcal{F}, \mathcal{G}) = Hom(\mathcal{F}, \mathcal{G}) \simeq \Gamma(X, \mathcal{H}om(\mathcal{F},\mathcal{G}))$

que es finito-dimensional por Hartshorne, II.5.19, debido a que $\mathcal{H}om(\mathcal{F}, \mathcal{G})$ es coherente.

Por otra parte, puedo afirmar que el resultado también es cierto para todos los $i$ e al $\mathcal{F} = \bigoplus \mathcal{L}_{j}$ es una suma directa de línea de paquetes. De hecho, en este caso

$Ext^{i}(\mathcal{F}, \mathcal{G}) = Ext^{i}(\bigoplus \mathcal{L} _{j}, \mathcal{G}) = \bigoplus Ext^{i}(\mathcal{L} _{j}, \mathcal{G}) \simeq \bigoplus Ext^{i}(\mathcal{O}_{X}, \mathcal{G} \otimes \mathcal{L} _{j} ^{\vee})$

donde el último isomorfismo es III.6.7 y, a continuación,

$\bigoplus Ext^{i}(\mathcal{S}_{X}, \mathcal{G} \otimes \mathcal{L} _{j} ^{\vee}) \simeq \bigoplus H^{i}(\mathcal{G} \otimes \mathcal{L} _{j} ^{\vee})$

por III.6.3. (Yo soy el secreto con que cohomology coherente de las poleas es finito-dimensional, que es una parte de la pregunta y también III.5.2).

Ahora vamos a hacer el caso general. Por Hartshorne, Corolario II.5.18, coherente gavilla $\mathcal{F}$ $X$ es un cociente de cierta suma de la línea de paquetes de $\mathcal{E}$. Deje $\mathcal{R}$ ser el kernel, es decir,. tenemos una secuencia exacta de las poleas

$0 \rightarrow \mathcal{R} \rightarrow \mathcal{E} \rightarrow \mathcal{F} \rightarrow 0$.

Por la característica universal de $Ext$ tenemos una larga secuencia exacta

$0 \rightarrow Ext^{0}(\mathcal{F}, \mathcal{G}) \rightarrow Ext^{0}(\mathcal{E}, \mathcal{G}) \rightarrow Ext^{0}(\mathcal{R}, \mathcal{G}) \rightarrow Ext^{1}(\mathcal{F}, \mathcal{G}) \rightarrow \ldots$

y la parte interesante es

$\ldots \rightarrow Ext^{i}(\mathcal{R}, \mathcal{G}) \rightarrow Ext^{i+1}(\mathcal{F}, \mathcal{G}) \rightarrow Ext^{i+1}(\mathcal{E}, \mathcal{G}) \rightarrow \ldots$.

Dado que tanto $Ext^{i}(\mathcal{R}, \mathcal{G})$ (por la suposición inductiva) y $Ext^{i+1}(\mathcal{E}, \mathcal{G})$ (por la prueba anterior) son finito-dimensional, se deduce que el $Ext^{i+1}(\mathcal{F}, \mathcal{G})$ es también finito-dimensional.