¿Cómo encontrar el área de un polígono (convexo de área máxima), construido sobre las raíces de un polinomio dado en el plano complejo?
Por ejemplo, considera la ecuación:
$$2x^5+3x^3-x+1=0$$
Tiene una raíz real y cuatro raíces complejas y forma un bonito pentágono convexo en el plano complejo (gracias, Wolfram Alpha):
Utilizando la fórmula para el área de un polígono convexo:
$$A=\frac{1}{2} \left( \begin{array}| x_1 & x_2 \\ y_1 & y_2 \end{array} + \begin{array}| x_2 & x_3 \\ y_2 & y_3 \end{array} + \dots + \begin{array}| x_n & x_1 \\ y_n & y_1 \end{array} \right)$$
Obtuve en este caso (usando valores numéricos de las raíces):
$$A=1.460144\dots$$
Otro caso sencillo: raíces de la unidad. Solo forman polígonos regulares y la fórmula general para el área es bien conocida.
Sin embargo, me gustaría saber si es posible encontrar este área sin calcular las raíces, utilizando solo los coeficientes del polinomio (los coeficientes se suponen racionales).
Sé que los polinomios con solo raíces reales tendrán todos $A=0$, y para los polinomios con varias raíces reales algunas de ellas estarán dentro de nuestro polígono de área máxima.
Existe un teorema útil (ver teorema de Rouché), según el cual:
Para un polinomio mónico $$z^n+a_{n-1} z^{n-1}+\dots+a_1 z+a_0$$
Todas sus raíces estarán ubicadas dentro del círculo $|z|=1+\max |a_k|$.
Pero este teorema da un área relativamente grande y no se puede usar para aproximar el área del polígono.
