El número $a$ se selecciona aleatoriamente del conjunto $\left\{0,1,2,3,....,98,99\right\}$. El número $b$ se selecciona del mismo conjunto. ¿Cuál es la probabilidad de que el número $3^a+7^b$ tenga un dígito igual a $8$ en la unidad?
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¿Cuál es la probabilidad de que el número $3^a+7^b$ tenga un dígito igual a $8$ en la unidad?
Pero no pude entender la solución.
¿Alguien podría proporcionarme la solución en palabras sencillas (sin el término mod)?
Queremos que el dígito de las unidades de $3^a+7^b$ sea $8$. Eso significa que solo nos importa el dígito de las unidades de $3^a$ y $7^b$. Entonces veamos qué sucede con esos dígitos de las unidades para diferentes exponentes: $$ \begin{array}{c|cc} n & 3^n & 7^n\\ \hline 0&1&1\\ 1&3&7\\ 2&9&9\\ 3&7&3\\ 4&1&1\\ 5&3&7 \end{array} \\ \vdots $$ Así que, como puedes ver, tanto para $3^n$ como para $7^n$, el dígito de las unidades se repite con periodo $4$ (esta es la parte donde la aritmética modular realmente brilla: si estás familiarizado con ella, entonces simplemente declarar lo que he dicho anteriormente en ese marco prueba más allá de toda duda que nada gracioso sucede más allá). Eso significa, por ejemplo, que $a = 2$ da el mismo resultado que $a = 6$ o $a = 98$, y lo mismo para $b$. Si dividimos $\{0,1,2,\ldots,98,99\}$ en subconjuntos dependiendo en cuál de estas categorías caen, obtenemos $\{0,4,8,\ldots,92,96\}$ y $\{1,5,9,\ldots,93,97\}$ y $\{2,6,\ldots,94,98\}$ y $\{3,7,\ldots,95,99\}$. Hemos establecido que lo único que importa es en qué de estos cuatro conjuntos caen $a$ y $b. Todos tienen el mismo tamaño, así que para cualquier conjunto específico, la probabilidad de que el $a$ que elijamos sea de ese conjunto es $1/4$, y lo mismo para $b$. Eso significa que cualquier elección específica para $a$ y $b$ simultáneamente tiene una probabilidad de $\frac1{16}$.
La última parte es averiguar cuántas de estas combinaciones dan $8$ como dígito de las unidades. Podemos hacer esto simplemente eligiendo de la tabla anterior. Si $a\in\{0,\ldots,96\}$, entonces el dígito de las unidades de $3^a$ es $1$, por lo que necesitamos que el dígito de las unidades de $7^b$ sea $7$. Esto significa que $b$ debe estar en $\{1, \ldots,97\}$.
De manera similar, si $a\in\{1,\ldots,97\}$, entonces no hay ningún $b$ que funcione. Si $a\in \{2,\ldots,98\}$, entonces también debemos tener $b\in \{2,\ldots,98\}$, porque $9+9$ es lo que da $8$ como dígito de las unidades. Por último, podemos elegir $a \in \{3,\ldots,99\}$, lo que obliga a que $b \in \{0,\ldots,96\}$.
En total, de las $16$ combinaciones diferentes igualmente probables, hay $3$ que funcionan. Por lo tanto, la probabilidad es $\boxed{\!\frac3{16}}$
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