¿Cómo aplicar el teorema de Stolz-Cesàro en esta pregunta?

Question

$$\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{2}{2^{2}-1}\right)^{\frac{1}{2^{n-1}}} \left (\frac{2^{2}}{2^{3}-1}\right)^{\frac{1}{2^{n-2}}} \cdots\left(\frac{2^{n-1}}{2^{n}-1}\right)^{\frac{1}{2}}$$

No sé cómo continuar después de tomar el logaritmo de eso, después. Este es un ejercicio para encontrar el límite usando el método de Stolz.

Answer 1

Nota \begin{eqnarray} &&\ln\bigg[\left(\frac{2}{2^{2}-1}\right)^{\frac{1}{2^{n-1}}} \left (\frac{2^{2}}{2^{3}-1}\right)^{\frac{1}{2^{n-2}}} \cdots\left(\frac{2^{n-1}}{2^{n}-1}\right)^{\frac{1}{2}}\bigg] \\ &=&\sum_{k=2}^n\frac{1}{2^{n-k+1}}\ln\bigg(\frac{2^{k-1}}{2^{k}-1}\bigg)\\ &=&\frac{\sum_{k=2}^n2^k\ln\bigg(\frac{2^{k-1}}{2^{k}-1}\bigg)}{2^{n+1}}. \end{eqnarray} Según el teorema de Stolz, se tiene \begin{eqnarray} &&\lim_{n\to\infty}\ln\bigg[\left(\frac{2}{2^{2}-1}\right)^{\frac{1}{2^{n-1}}} \left (\frac{2^{2}}{2^{3}-1}\right)^{\frac{1}{2^{n-2}}} \cdots\left(\frac{2^{n-1}}{2^{n}-1}\right)^{\frac{1}{2}}\bigg] \\ &=&\lim_{n\to\infty}\frac{\sum_{k=2}^n2^k\ln\bigg(\frac{2^{k-1}}{2^{k}-1}\bigg)}{2^{n+1}}\\ &=&\lim_{n\to\infty}\frac{\sum_{k=2}^{n+1}2^k\ln\bigg(\frac{2^{k-1}}{2^{k}-1}\bigg)-\sum_{k=2}^n2^k\ln\bigg(\frac{2^{k-1}}{2^{k}-1}\bigg)}{2^{n+2}-2^{n+1}}\\ &=&\lim_{n\to\infty}\frac{2^{n+1}\ln\bigg(\frac{2^{n}}{2^{n+1}-1}\bigg)}{2^{n+1}}\\ &=&\ln(\frac12) \end{eqnarray} y por lo tanto $$\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{2}{2^{2}-1}\right)^{\frac{1}{2^{n-1}}} \left (\frac{2^{2}}{2^{3}-1}\right)^{\frac{1}{2^{n-2}}} \cdots\left(\frac{2^{n-1}}{2^{n}-1}\right)^{\frac{1}{2}}=\frac12.$$