Debo tener miedo de usar conocido identidades que no puedo probar?

Question

Recientemente he notado un patrón en todos mis "investigaciones" (si se les puede llamar eso), y que no voy a permitir que me uso conocido identidades si no puedo probar (o al menos entender un dado prueba de ellos). Por ejemplo, hace poco estuve buscando en las integrales de Funciones de Bessel, y he leído acerca de la Sonine-Fórmula, que es, $$ \int_0^\infty{J_z(a)J_z(bt)J_z(ct)t^{1-z}dt} = 2^{z-1}\Delta(a, b, c)^{2z-1}\left(\sqrt{\pi}\Gamma\left(z+\frac{1}{2}\right)(abc)^z\right)^{-1} $$ donde $\Delta(a, b, c)$ es el área de un triángulo con las longitudes de los lados $a, b$, e $c$ (o 0 si no existe).

Este podría ser un poco de un ejemplo extremo, como no creo que alguna vez había llegado a través de esta en el nivel en el que estoy trabajando, pero si yo lo hice, yo no iría adelante y utilizarlo. En su lugar había dejado de ser muertos en el camino. Yo no permito continuar hasta que yo sabía exactamente lo que estaba pasando en esta fórmula.

Hago esto simplemente porque tengo miedo de lo que podría suceder si no entiendo bien las herramientas que estoy usando.

Pero también he notado que una gran cantidad de más alto nivel de matemáticas que hace referencia a las identidades no se encuentra o totalmente entendido por el original matemático.

Así que debo tener miedo de no saber todo acerca de un problema? Debo usar fácilmente de otros pueblos trabajo, independientemente de si o no la entiendo?

EDIT: puede ser útil tener en cuenta que todavía estoy solo en la escuela secundaria, así que estoy en ninguna parte cerca del nivel de experiencia de la mayoría de la gente tiene en este sitio web, y este miedo que siento podría ser un efecto secundario de ser joven y sin experiencia.

Answer 1

Usted nunca será capaz de conocer la prueba de todos los matemáticos de la verdad. Si usted encuentra un peer-reviewed resultado, usted debe sentirse cómodo con él. Algunas pruebas de lapso de cientos, incluso miles, de muy breves páginas.

Dicho esto, si una determinada identidad es central para lo que usted está investigando usted debe tratar de aprender mucho acerca de ella.

Answer 2

Mientras estoy básicamente de acuerdo con David Peterson contestar una cosa importante a tener en cuenta es que estas identidades pueden suponer restricciones, lo cual puede resultar un poco demasiado estrictas para sus requisitos. En ese caso, deberías no confiar ciegamente en la identidad sigue siendo válida a pesar de dejar su (actualmente vigente) límites.

Como un ejemplo sencillo tomar la identidad

$$ (-1)^{2n} = 1\ \forall n\in\mathbb Z$$

(el que lee, "incluso los poderes de menos uno, más uno"). Ahora, en algún momento se nota en su caso $n$ también puede tomar valores reales, en cuyo caso esta "identidad" en realidad se convierte en una mentira y debe ser corregido a

$$ (-1)^{2r} = e^{2\pi i r},\quad |(-1)^{2r}| = 1\quad \forall r\in\mathbb R$$

(que se lee "para el real exponentes, los poderes de menos uno convertido en fase de factores, es decir, los números complejos de valor absoluto"). Y que también deja de ser válida una vez que se permite para el complejo de valores de los exponentes...