Soluciones imprimitivas para $x^2+y^3=z^7$

Question

Poonen, Schaefer, & Stoll dan las soluciones primitivas a $x^2+y^3=z^7$:

$$ (±1, −1, 0), (±1, 0, 1), ±(0, 1, 1), (±3, −2, 1), (±71, −17, 2),\\ (±2213459, 1414, 65), (±15312283, 9262, 113), (±21063928, −76271, 17). $$

Estoy buscando todas las soluciones con $1\le z\le\ell$ para un valor fijo de $\ell$.

Claramente, las soluciones primitivas generan infinitas soluciones no primitivas vía multiplicación por potencias de $\operatorname{lcm}(2,3,7)=42$, pero esto no las encuentra todas. Por ejemplo, $250^2+25^3 = 5^7$ y $832^2+112^3 = 8^7$.

¿Cómo puedo encontrar todas las soluciones? Mi primer instinto fue tratar cada caso especial por separado, pero tengo miedo de omitir casos de esa manera.

[1] Bjorn Poonen, Edward F. Schaefer, and Michael Stoll, Twists of X(7) and primitive solutions to x^2+y^3=z^7, Duke Math. J. 137:1 (2007), pp. 103-158.

Answer 1

Puedes encontrar las soluciones para cualquier $z$ dado buscando los puntos integrales en la curva elíptica $$x^2 = (-y)^3 + z^7$$ (lo cual normalmente se escribiría como $y^2 = x^3 + z^7$). La curva es isomorfa a la curva obtenida reemplazando $z^7$ con $z$, así que el cálculo es factible para valores razonables de $z$.

Magma (por ejemplo, pero también SAGE) tiene una implementación de un procedimiento que encuentra todos estos puntos (hay un número finito en cada caso) en un tiempo bastante razonable. Por ejemplo, hay exactamente 990 soluciones (hasta un cambio de signo en $x$) para $1 \le z \le 1000$. Aquí está el código de Magma (reemplaza ell por $\ell$):

list := [];
for z := 1 to ell do
  pts := IntegralPoints(EllipticCurve([0, z^7]));
  list cat:= [ : pt in pts];
end for;
list;

Si no tienes acceso a Magma, puedes probarlo con la calculadora online de Magma. Con ell=100, tarda aproximadamente 13 segundos ahí. El cálculo para $\ell = 1000$ en mi computadora tomó aproximadamente el mismo tiempo que escribir esta respuesta.