Larga secuencia exacta de grupos de homotopía $\pi_n$ para un cuadrado de pullback de homotopía puntual

Question

Sea \begin{align} A &\to B\\ \downarrow &~\downarrow\\ C &\to D \end{align> un cuadrado de pullback de homotopía de conjuntos simpliciales apuntados. Se obtiene una secuencia exacta larga $$ \cdots\to\pi_n(A)\to \pi_n(B)\times \pi_n(C)\to \pi_n(D)\to \cdots\to\pi_0(A)\to \pi_0(B)\times \pi_0(C) $$ de grupos de homotopía ya que el cuadrado de pullback de homotopía define una sucesión de fibras de homotopía $\Omega D\to A\to B\times C$.

¿Esta secuencia se extiende a la derecha por $\cdots\to \pi_0(D)$ o incluso por $\cdots\to \pi_0(D)\to 0$?

Answer 1

No, no lo es -- de hecho, ¡ni siquiera hay un mapa natural! Por ejemplo, considera el caso en que $B=C=D=\mathrm{pt}_+$, con todos los mapas siendo la identidad. El mapa en grados positivos utiliza la estructura de grupo en $\pi_{\geq 1}(D)$ de una manera crucial.