¿La Construcción de Cayley-Dickson expone nuevas propiedades?

Question

Las simetrías del campo real desaparecen a medida que se aplica repetidamente la construcción de Cayley-Dickson: primero perdiendo el orden, luego la conmutatividad de la multiplicación, la asociatividad de la multiplicación y luego la alternatividad." - https://es.wikipedia.org/wiki/Construcci%C3%B3n_de_Cayley-Dickson

Dado que la construcción puede llevarse a cabo ad infinitum, y se pierde una propiedad con cada paso, ¿significa esto que una nueva propiedad puede ser descubierta con cada paso (aquella que acaba de perderse) infinitamente?

Pregunta algo relacionada: ¿Qué propiedades algebraicas específicas se rompen en cada etapa de Cayley-Dickson más allá de los octoniones?

Answer 1

A pesar de que se pierde una propiedad en cada una de las primeras cuatro construcciones de Cayley-Dickson, no implica que se pueda descubrir otra con cada paso. Sin embargo, si se asume que solo hay un número finito de simetrías que se pueden perder, entonces deberían agotarse después de cierto número de expansiones/construcciones de Cayley-Dickson.

Es desconocido a priori si se pierde alguna otra propiedad.