¿La siguiente serie con un polinomio como numerador y $e^n$ como denominador converge?

Question

La serie es la siguiente:

$$\sum_{n=1}^\infty \frac {8n^2-7}{e^n(n+1)^2} $$

Answer 1

Converge comparándola con la serie geométrica convergente: $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty e^{-n}$

Answer 2

También puedes usar la prueba de la razón $$u_n=\frac {8n^2-7}{e^n(n+1)^2}$$ $$\frac{u_{n+1}}{u_n}=\frac{(n+1)^2 \left(8 (n+1)^2-7\right)}{e (n+2)^2 \left(8 n^2-7\right)}=\frac 1e \, \frac{8 n^4+32 n^3+41 n^2+18 n+1}{8 n^4+32 n^3+25 n^2-28 n-28}$$ cuyo límite es $\frac 1e$.

Answer 3

Si $p$ es un polinomio y $c > 1$ entonces $\sum \frac{p(n)}{c^n}$ converge.

La prueba puede hacerse usando el test de la razón o el test de la raíz.

Para el test de la razón, si el término de mayor orden es $n^d$, entonces $\frac{p(n+1)}{p(n)} \to \frac{(n+1)^d}{n^d} = (1+1/n)^d \to 1$.

Para el test de la raíz, $(p(n)/c^n)^{1/n} < (an^{d})^{1/n}/c \to 1/c < 1$ ya que tanto $a^{1/n}$ como $n^{1/n} \to 1$.