¿Cómo se relacionan la Función de Error y la función de distribución normal estándar?

Question

Si la PDF Normal Estándar es $$f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-x^2/2}$$

y la CDF es $$F(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^x e^{-x^2/2}\mathrm{d}x\,,$$

¿cómo se convierte esto en una función de error de $z$?

Answer 1

Porque esto surge a menudo en algunos sistemas (por ejemplo, Mathematica insiste en expresar la CDF Normal en términos de $\text{Erf}$), es bueno tener un hilo como este que documente la relación.

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Por definición, la función error es

$$\text{Erf}(x) = \frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_0^x e^{-t^2} \mathrm{d}t.$$

Escribir $t^2 = z^2/2$ implica $t = z / \sqrt{2}$ (porque $t$ no es negativo), entonces $\mathrm{d}t = \mathrm{d}z/\sqrt{2}$. Los límites $t=0$ y $t=x$ se convierten en $z=0$ y $z=x\sqrt{2}$. Para convertir la integral resultante en algo que se parezca a una función de distribución acumulativa (CDF), debe expresarse en términos de integrales que tengan límites inferiores de $-\infty$, por lo tanto:

$$\text{Erf}(x) = \frac{2}{\sqrt{2\pi}}\int_0^{x\sqrt{2}} e^{-z^2/2}\mathrm{d}z = 2\left(\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{x\sqrt{2}}e^{-z^2/2}\mathrm{d}z - \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^0 e^{-z^2/2}\mathrm{d}z\right).$$

Esas integrales en el lado derecho son ambos valores de la CDF de la distribución Normal estándar,

$$\Phi(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^x e^{-z^2/2} \mathrm{d}z.$$

Específicamente,

$$\text{Erf}(x) = 2(\Phi(x\sqrt{2}) - \Phi(0)) = 2\left(\Phi(x\sqrt{2}) - \frac{1}{2}\right) = 2\Phi(x\sqrt{2}) - 1.$$

Esto muestra cómo expresar la función error en términos de la CDF Normal. La manipulación algebraica de eso fácilmente da la CDF Normal en términos de la función error:

$$\Phi(x) = \frac{1 + \text{Erf}(x/\sqrt{2})}{2}.$$

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Esta relación (para números reales, de todos modos) se exhibe en gráficos de las dos funciones. Las gráficas son curvas idénticas. Las coordenadas de la función error a la izquierda se convierten en las coordenadas de $\Phi$ a la derecha multiplicando las coordenadas $x$ por $\sqrt{2}$, agregando $1$ a las coordenadas $y$, y luego dividiendo las coordenadas $y$ por $2$, reflejando la relación

$$\Phi(x\sqrt{2}) = \frac{\text{Erf}(x) + 1}{2}$$

en la que la notación muestra explícitamente estas tres operaciones de multiplicación, suma y división.