Gödel del teorema de la incompletitud no puede ser probada?

Question

Tengo una pregunta muy simple, que aún no he encontrado una respuesta para todo: Gödel se dice que han demostrado que la Aritmética de Peano (o cualquier sistema capaz de expresarlo) no puede probar su propia consistencia.

Su prueba se basa en la idea de que se puede construir una afirmación de que, en un meta-nivel, significa "Esta declaración no puede ser probada" y a partir de esto se sigue que la aritmética declaración en sí no puede ser probada.

Pero si yo lo veo correctamente, esta conclusión no puede ser derivado formalmente. Como yo lo veo, su prueba demuestra que la declaración que se representa ("Esta afirmación no probada") no puede ser probado, pero no que la declaración se representa con (aritméticas la instrucción) no puede ser probada.

Gödels prueba confunde el significado con la meta-significado, que sigue a partir de la imposibilidad de probar la meta-declaración de la imposibilidad de probar la declaración real, que no es seguramente válido paso (aunque puede ser intuitivamente válido, que es discutible).

Así que, como la mayoría de los matemáticos están de acuerdo con esto, ¿cómo Gödel demuestra que la afirmación de que la auto-referencial unprovability declaración está representado no puede ser probada?

A mí me parece el teorema de Gödel no puede ser probada. Que un sistema no puede probar su propia consistencia es cierto solo porque es simplemente evidente que ningún sistema puede probar su propia consistencia, por la simple razón de que la noción de consistencia en última instancia no puede ser formalizado.

Casi todos los matemáticos están de acuerdo conmigo, pero lo que está mal con mi argumento de que Gödel confunde declaración y meta-declaración (que podría ser válida, pero no puede ser demostrado ser válido)?

Answer 1

Permítanme frase el argumento en algo más moderno términos:

Goedel construcciones de un medio de codificación de cualquier programa de ordenador del código fuente por una fórmula aritmética, de tal manera que él puede demostrar que, para cualquier programa que finalmente salidas "SÍ", la Aritmética de Peano (PA) demuestra la correspondiente fórmula, y para cualquier programa que, finalmente, los resultados "NO", PA refuta la correspondiente fórmula.

Luego Goedel* construye un programa de ordenador con el código "Búsqueda a través de todas las posibles pruebas en PA hasta encontrar una prueba o una refutación de la fórmula correspondiente para el código fuente. Si usted encuentra una prueba primero, la salida de 'NO', si usted encuentra que una refutación en primer lugar, la salida de 'SÍ'. (Si usted nunca encontrará a ambos, sólo seguir buscando siempre...)" [Esta es una forma recursiva definida por el programa, en el que se refiere a su propio código fuente, pero eso está bien: entendemos bien cómo escribir recursivo de los programas, e incluso cómo compilar a idiomas que no apoyan directamente la recursividad. Esta compilación es lo que esencialmente "diagonalización"]

Ahora, sea p la fórmula correspondiente al código fuente del programa. Tanto tiempo como PA bien demuestra o refuta p, este programa será, finalmente, la salida de algo. Pero si este programa de salidas 'SÍ', entonces PA debe probar que p (por el segundo párrafo) y también refutar p (esta es la única forma en que el programa nunca salidas 'SÍ'). Del mismo modo, si este programa de salidas 'NO', entonces PA debe refutar p (por el segundo párrafo) y también probar que p (esta es la única forma en que el programa nunca salidas 'NO'). Por lo tanto, si PA bien demuestra p O rebatir p, necesariamente demuestra que p Y refuta p, son una oferta de paquete. Así que si PA es "completa", entonces es inconsistente.

Que es el mecanismo del resultado. Es muy concreto y no depende de cualquier handwavy argumentos sobre el meta-declaraciones. Es sólo una cuestión de Una) saber cómo construir programas de computación que pueden tener acceso a su código fuente, y B) tener una representación adecuada de dichos programas, en PA (o cualquiera que sea el sistema que uno esté interesado en), en el sentido de las propiedades del segundo párrafo de este post.

[*: Yo digo Goedel, pero en realidad me refiero a Rosser, cinco años más tarde; he elegido usar su enfoque (que produce un poco más fuerte que el resultado de Goedel en este contexto, aunque sea uno que generaliza menos), porque creo que podría ser más sencillo para discutir por ahora]

Answer 2

Esto me golpea como un extraño objeción filosófica a un teorema matemático. Si está de acuerdo o no con la norma de interpretación del Teorema de Gödel no tiene ninguna relevancia para la cuestión de si el Teorema de Gödel ha sido probado. El Teorema de Gödel ha sido probado -- todos los términos utilizados en el enunciado del teorema se han definido de manera rigurosa, y la conclusión se sigue de las premisas de un modo riguroso. Las preocupaciones sobre el significado y el meta-significado no tienen relevancia a la prueba, debido a que el "significado" y "meta-que significa" no son rigurosamente definidos los términos, y nada en la prueba hace referencia a estas ideas.

Es razonable para oponerse a la norma de interpretación del Teorema de Gödel. En cierto sentido, Gödel construyó un modelo matemático de las matemáticas en sí, y ha demostrado que algunas de las declaraciones sobre las matemáticas son verdaderas en su modelo. (Nota: estoy usando la palabra "modelo" aquí en el habitual sentido informal, por ejemplo, un modelo matemático de flujo de fluido o el plegamiento de la proteína.) No hay duda de que Gödel del modelo, de hecho, tiene estas propiedades, pero puede o no estar de acuerdo en que las matemáticas, en realidad tiene estas propiedades, dependiendo de si usted piensa que el modelo es exacta.