Tensor de torsión y no-metricidad en una superficie

Question

En la geometría diferencial de superficies, ¿cómo se puede definir un tensor de torsión no nulo? Parece que la conexión que proporcionas siempre tiene que ser simétrica ya que, por definición, $$\Gamma^{\gamma}_{\alpha\beta}\equiv\mathbf{a}^{\gamma}\cdot\mathbf{a}_{\alpha,\beta}=\mathbf{a}^{\gamma}\cdot\mathbf{r}_{,\alpha\beta}=\mathbf{a}^{\gamma}\cdot\mathbf{r}_{,\beta\alpha}=\Gamma^{\gamma}_{\beta\alpha},$$ donde $\mathbf{r}:U\to\mathbb{R}^3$, $U\subset\mathbb{R}^2$, es una superficie embebida $C^3$ con parametrización $(\theta^1,\theta^2)\in U$, $\mathbf{a}_\alpha\equiv\mathbf{r}_{,\alpha}$ son los vectores tangentes a las curvas de coordenadas $\theta^\alpha$, $\alpha=\{1,2\}$, y $\mathbf{a}^\gamma$ es el covector de $\mathbf{a}_\alpha$.

Esta definición también implica que la conexión es compatible con la métrica: $$\Gamma^{\gamma}_{\alpha\beta}=\frac{1}{2}a^{\gamma\lambda}(a_{\beta\lambda,\alpha}+a_{\gamma\alpha,\beta}-a_{\alpha\beta,\lambda}).$$ Así que no hay un tensor de no-metricidad no nulo tampoco. ($a_{\alpha\beta}\equiv\mathbf{a}_\alpha\cdot\mathbf{a}_\beta$,$a^{\alpha\beta}\equiv\mathbf{a}^\alpha\cdot\mathbf{a}^\beta$.)

La existencia de un tensor de torsión y un tensor de no-metricidad no nulos es importante en estudios de defectos en cristales bidimensionales porque en el modelo continuo, representan ciertas densidades de defectos.

Answer 1

Creo que el OP está haciendo una pregunta más específica que si una superficie tiene o no una conexión que no es métrica o no libre de torsión. Parece que el OP está asumiendo que la superficie $M$ viene equipada con una inmersión $\mathbf{r}:M\to\mathbb{E}^3$ en el espacio Euclidiano $3$-dimensional (orientado) y está preguntando si, usando los datos de la inmersión $\mathbf{r}$, es posible definir, de manera canónica, una conexión que tenga torsión y/o no sea compatible con la métrica.

Su pregunta incluye el argumento de que la conexión inducida usual asociada a un $\mathbf{r}$ dado discutida en todos los libros de curvas y superficies es tanto compatible con la métrica inducida como libre de torsión.

Ahora, es cierto que la única conexión canónica inducida por $\mathbf{r}$ que utiliza información de segundo orden como máximo de $\mathbf{x}$ en un punto es la conexión de Levi-Civita. Sin embargo, hay otras conexiones canónicas definibles utilizando $\mathbf{r}$ que utilizan información de orden superior, y éstas no necesariamente son libres de torsión ni compatibles con alguna métrica (mucho menos con la métrica inducida), al menos para la inmersión general. (Obviamente, cualquier fórmula canónica que utilice información de orden superior simplemente producirá la conexión de Levi-Civita cuando se aplica a una inmersión cuya imagen es un plano o una esfera.)

Ejemplo: Dada una inmersión $\mathbf{x}:M\to\mathbb{E}^3$, hay una función de curvatura media asociada $H$ que, desafortunadamente, depende de una elección de orientación de la superficie $M; cambia de signo si se invierte la orientación de $M$ (siempre, asumiendo, por supuesto, que el espacio objetivo $\mathbb{E}^3$ está orientado). Sin embargo, la $1$-forma $\eta = \ast dH$ es independiente de una elección de orientación de la superficie, ya que tanto $H$ como $\ast$ invierten el signo cuando se invierte la orientación. Sea $\nabla$ la conexión de Levi-Civita en $M$ asociada a la métrica inducida en $M$ por la inmersión $\mathbf{x}$, y define una segunda conexión $\tilde\nabla$ en $M$ mediante la fórmula $$ \tilde\nabla_XY = \nabla_XY + \eta(X)Y $$ Entonces $\tilde\nabla$ es una conexión asociada de manera canónica a $\mathbf{x}$ (cuya fórmula local depende de las derivadas de tercer orden de $\mathbf{x}$). Uno computa (usando el hecho de que la torsión de $\nabla$ se anula) que $$ T^{\tilde\nabla}(X,Y) = \tilde\nabla_XY - \tilde\nabla_YX - [X,Y] = \eta(X)Y - \eta(Y)X, $$ por lo que la torsión de $\tilde\nabla$ se anula si y solo si $\eta=0$, es decir, $H$ es localmente constante.

Mientras tanto, es fácil calcular que las curvaturas de las dos conexiones están relacionadas por $$ R^{\tilde\nabla}(X,Y)Z = R^{\nabla}(X,Y)Z + d\eta(X,Y)\ Z, $$ por lo que $\tilde\nabla$ ni siquiera tiene una $2$-forma paralela, y mucho menos una métrica paralela, a menos que $d\eta=0$, es decir, a menos que $H$ sea (localmente) una función armónica en la superficie.

Así, en general, $\tilde\nabla$ no es ni libre de torsión ni compatible con la métrica.

Answer 2

Levi-Civita significa compatible con la métrica y libre de torsión. Agregar un campo tensorial $\binom{1}{2}$ antisimétrico (= tu torsión favorita) a una derivada covariante no cambia la compatibilidad con la métrica.