¿Cuál es la condición en la secuencia para esto?

Question

$\left[ \frac{1}{2}+\frac{1}{\pi}\tan^{-1}(\lambda_n)\right]^n\rightarrow 1$.

Quiero encontrar la condición en $\lambda_n$ que lleva a la exhibición anterior a medida que $n$ tiende a $\infty$.

Sospecho que la condición sería $\lambda_n \succ n$, pero no puedo demostrarlo de forma rigurosa.

Answer 1

Si $\left[X_n\right]^n \rightarrow 1$ cuando $n \rightarrow \infty$, entonces $X_n \rightarrow 1$ cuando $n \rightarrow \infty$.

Se sigue que $\left[\frac{1}{2} + \frac{1}{\pi}\tan^{-1}\left(\lambda_n\right)\right]$ debe tender a 1 cuando $n$ tiende a $\infty$.

Por lo tanto, $\frac{1}{\pi}\tan^{-1}\left(\lambda_n\right) \rightarrow \frac{1}{2}$, lo cual implica que $ \tan^{-1}\left(\lambda_n\right) \rightarrow \frac{\pi}{2}$.

Finalmente, esto requiere que cuando $n \rightarrow \infty$, $\lambda_n$ debe tender hacia $-\tan\left(\frac{\pi}{2}\right)$