En un diagrama de campo eléctrico, las líneas representan el vector de fuerza electrostática en la posición. Estas líneas se doblan cuando colocas una carga en el sistema.
¿Cuál es la descripción equivalente de las "líneas" que se doblan cuando se coloca una masa en un área de espacio?
Cuando el espacio se curva, ¿cuáles son las líneas que se están doblando?
Las rectas.
Por ejemplo: digamos que tienes dos haces paralelos de láser viajando a través del espacio. Los fotones viajan en una "línea recta" más o menos por definición, es decir, el camino de un rayo láser es la línea recta más recta que los humanos pueden producir, por lo que es una especie de referencia. Matemáticamente, dos haces paralelos nunca deberían cruzarse. Ahora introducimos en el escenario un objeto masivo como una estrella, alrededor de la cual pasan los dos haces a cada lado. Los dos haces viajan en línea recta cada uno antes de pasar por la estrella; viajan en línea recta cada uno después de pasar por la estrella; y según podemos decir, viajan en línea recta cada uno mientras pasan por la estrella. Entonces, en teoría, si cada uno viaja en línea recta a lo largo de todo su camino, deberían mantenerse paralelos después de pasar por la estrella. Sin embargo, debido a que el espacio se curva cerca de la estrella, las líneas rectas por las que viajan los láseres se vuelven no paralelas, y en algún lugar del lado lejano de la estrella se cruzan.
Otro ejemplo: si un planeta está volando a través del espacio debería viajar en línea recta si no hay nada empujándolo en otra dirección (como un motor cohete o algo así). Solo por diversión diremos que está viajando directamente hacia la nariz de la Osa Mayor. Ahora supongamos que una estrella viene deambulando cerca del planeta; debido a la curvatura del espacio alrededor de la estrella masiva, el camino del planeta se desvía de su curso recto hacia la Osa, posiblemente incluso siendo capturado en órbita alrededor de la estrella. Aún no hay nada empujando al planeta fuera de curso, pero su "línea recta" está cambiando debido a la curvatura del espacio.
Nótese que en este segundo caso, la estrella también se desviará un poco (o orbitará) pasando al lado del planeta, la cantidad exacta siendo proporcional a la relación de masas entre el planeta y la estrella. Esto es porque el planeta curva un poco el espacio, al igual que la estrella lo curva en gran medida.
La imagen mental de líneas de campo en la Relatividad General probablemente no sea útil, al menos no para mí, salvo en casos muy especiales, porque
La dimensión de las imágenes que estás tratando de ver es demasiado alta para que nuestra intuición espacial cotidiana nos ayude mucho: estás tratando de visualizar un tensor de rango 2, $4\times 4$, con 10 componentes independientes (la métrica), no un vector de fuerza como en electrostática o la Gravedad Newtoniana. En la gravedad de la ecuación de Einstein en campo newtoniano o débil, el componente $g_{0\,0}$ se convierte en el análogo del potencial gravitacional $\phi, por lo que la imagen mental que buscas se convierte en la de la gravedad newtoniana con líneas de fuerza a lo largo de $\nabla\,\phi. Pero estas no son las líneas de "espacio doblado";
La gravedad no es una fuerza en la Relatividad General. Tampoco puedes definir un sistema global de coordenadas que te permita definir un "campo de aceleración" que lo represente. Solo puedes definir aceleración en relación con marcos inerciales localmente comóviles, que es lo que mide un acelerómetro. Así que, alrededor de un planeta, por ejemplo, podrías trazar un campo de aceleración en relación con la superficie del planeta. Así que realmente vuelves a la imagen newtoniana.
No te atormentes demasiado con las palabras "espacio-tiempo curvado, espacio-tiempo deformado", porque no puedes visualizarlas: nuestra evolución en el África Oriental del Neógeno en el Planeta Tierra no nos equipó para comprender tales patrones - su reconocimiento no fue útil para encontrar alimentos y agua o mantenernos alejados de Leones del Neógeno. Causan muchas sensaciones innecesarias de "nunca voy a poder entender esta cosa". Realmente creo que la abstracción es tu amiga aquí: "espacio-tiempo curvado" simplemente significa que si tomas un vector y lo transportas paralelamente alrededor de un bucle en ese espacio-tiempo, habrá cambiado a un vector diferente cuando regreses a tu punto de partida. O, alternativamente, espacio-tiempo curvado significa que la geometría realizada allí no cumplirá con todos los axiomas de Euclides. Los ángulos dentro de los triángulos no suman $180^\circ$. Eso es todo lo que hay que entender. Esta variación alrededor de un camino se llama holonomía - busca más información aquí. El objeto utilizado para medir esto es un objeto de rango cuatro: debe tomar como entradas dos vectores (que definen los bordes de un paralelogramo infinitesimal por el que imaginas que se transporta un vector) y arroja una matriz que define la transformación que cualquier vector experimenta al ser transportado alrededor de un bucle. Afortunadamente, podemos reducir esto a un objeto de rango dos que tiene significados geométricos más simples, y una de las mejores explicaciones elementales de todos estos conceptos se encuentra en el Capítulo 42 del Volumen 2 de las Lecciones de Feynman.
Si trazas líneas de cuadrícula en un gráfico, ¿qué son las líneas de la cuadrícula?
Bueno, en un gráfico típico en 2D con x aumentando hacia la derecha e y aumentando hacia arriba, las líneas de la cuadrícula horizontales son los lugares de constantes y y las líneas de la cuadrícula verticales son los lugares de constantes x.
En 3D, las líneas de la cuadrícula son los lugares de constantes x e y para aquellas que corren paralelas al eje z y de constantes y y z para las líneas de la cuadrícula que corren paralelas al eje x y así sucesivamente.
Eso es lo que se muestra en esas visualizaciones de espacio curvo: lugares de valores constantes para algún conjunto de coordenadas de tiempo y espacio.
Cuando las personas hablan acerca de la curvatura del espacio, generalmente están hablando de dos ideas relacionadas: 1) la curvatura de líneas del mundo en un espacio-tiempo de 3+1 o 2) la curvatura de trayectorias de luz en un espacio de 3 dimensiones. Estas ideas están relacionadas ya que la luz se comporta como el límite de alta velocidad y baja masa.
1) Considera una superficie 2D incrustada en un espacio plano 3D. En cualquier punto de la superficie, existe un plano tangente. Si la superficie está curva, entonces al deslizar el plano tangente de un punto a otro, los ángulos que forma con respecto a los ejes 3-dimensionales fijos cambian.
Ahora, considera una partícula moviéndose a una velocidad unitaria constante a lo largo de esta superficie. Podemos proyectar su vector de velocidad en los ejes 3-dimensionales fijos. En cada punto a lo largo de la curva, las componentes de la velocidad cambian, pero la magnitud total de la velocidad permanece igual.
Para hacer la conexión con el espacio-tiempo, dejamos que una dimensión sea el tiempo, las otras dos son el espacio, y nuestra velocidad unitaria constante es la tasa de tiempo propio de la partícula. La curva trazada por la partícula es su línea de mundo, y la relación de sus componentes espaciales con su componente temporal es la velocidad observada de la partícula. Si consideramos una partícula moviéndose en línea recta en un espacio plano, entonces una fuerza que la haga acelerar hace que su línea de mundo se curve hacia el plano espacial, y una fuerza que la haga frenar hace que la línea de mundo se curve hacia el eje del tiempo.
2) Para describir un espacio 3D que no es plano, me gusta pensar en esponjas. Un espacio plano está representado por una esponja homogénea. Si colocamos una masa en una esponja homogénea, entonces esta atrae la esponja hacia sí con una fuerza dependiente de la distancia. El efecto es que la esponja se vuelve más densa a medida que te acercas a la masa.
Un haz de luz busca el camino más recto, con la máxima componente espacial, velocidad constante que puede encontrar. Mientras las partículas podrían desacelerar/acelerar cuando la densidad de la esponja espacial cambia, el haz de luz no tiene esta opción, por lo que se desvía para optimizar su camino.
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