Para una retícula $L$ y un vector $v$ en $\mathbb{R}^n$ tome $L\backslash v := \{l-(\textstyle \frac{v^\dagger l}{\|v\|^2})v: l\in L\}.$ ¿Cuándo es $L\backslash v$ una retícula?
Respuesta
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Sea $p\colon \Bbb R^n\to \Bbb R^{n-1}$ una transformación lineal de rango $n-1$. y $L\subset \Bbb R^n$ un retículo. Nos preguntamos cuándo $p(L)$ es un retículo en $\Bbb R^{n-1}$.
Escogemos una base $e_1,\ldots, e_n$ de $L$. Entonces los vectores $p(e_i)$ generan $\Bbb R^{n-1}$, pero son linealmente dependientes de manera esencialmente única, $$\tag1 c_1p(e_1)+\ldots +c_np(e_n)=0$$ con no todos los $c_i=0$. Podemos asumir sin pérdida de generalidad que $c_n=1$.
Si todos los $c_i$ son racionales, digamos $c_i=\frac {a_i}{b_i}$ con $a_i\in\Bbb Z$, $b_i\in\Bbb N$, entonces $p(L)$ está contenido en $L':=\frac {p(e_1)}{b_1}\Bbb Z+\ldots + \frac {p(e_{n-1})}{b_{n-1}}\Bbb Z$. Como los vectores listados generan $\Bbb R^{n-1}$, $L'$ es un retículo y $L$ entonces es un subretículo de él.
Por otro lado, si $p(L)$ es un retículo entonces hay una dependencia lineal entre $p(e_1),\ldots,p(e_n)$ que tiene solamente coeficientes racionales. Por la unicidad esencial de $(1)$, se sigue que los $c_i$ son racionales.
Concluimos que $p(L)$ es un retículo si y solo si los coeficientes en la dependencia lineal producida $(1)$ son (después de normalizar) racionales. En el contexto del planteamiento original, encontramos los $c_i$ expresando el vector de proyección $v$ porque $v=\sum c_ie_i$ se convierte en $0= \sum c_ip(e_i)$. El criterio de racionalidad es entonces equivalente a lo siguiente:
$L\setminus v =p(L)$ es un retículo si y solo si $v$ es un múltiplo de un vector del retículo.
