Decaimiento exponencial para el gradiente de una solución

Question

Estimados todos, Me gustaría demostrar la decadencia exponencial de las derivadas de una solución a la siguiente ecuación en $\mathbb{R}^N$: $$ \sqrt{-\Delta+m^2} u +u= f(u), $$ donde puedo asumir que $m \neq 0$, que $f$ es suave y que la solución $u \in H^{1/2}(\mathbb{R}^N)$ es al menos Hölder-continua. También sé que $u(x) = O(e^{-C|x|})$ en el infinito. Si la ecuación fuera local (como $-\Delta u + u = f(u)$), el enfoque usual consistiría en usar estimaciones interiores de Schauder para $\nabla u$ (o alguna estimación de tipo Harnack); no encontré ninguna referencia precisa para la teoría de Schauder de ecuaciones no locales, excepto en el caso $m=0$ (la ecuación del laplaciano fraccionario).

Cualquier ayuda es bienvenida.

Answer 1

Recientemente ha habido trabajo de M. Cappiello, T. Gramchev y L. Rodino en problemas relacionados, ver por ejemplo Extensiones enteras y decaimiento exponencial para ecuaciones elípticas semilineales, J. Anal. Math. 111 (2010), 339-367 http://link.springer.com/article/10.1007%2Fs11854-010-0021-4.

Un resultado ejemplar dice: Supongamos que la no linealidad $f$ es un polinomio en $u$ y que $u\in \langle x \rangle^{-\delta} H^s({\mathbb R}^N)$, donde $s>N/2$, $\delta>0$, es una solución de la ecuación elíptica semilineal mostrada arriba. Entonces $u$ pertenece al espacio de Gelfand-Shilov $S_1^1({\mathbb R}^N)$. Entre otras cosas, esto implica que existe un $\varepsilon>0$ tal que, para todo $\alpha\in{\mathbb N}_0^N$, $$ (\partial^\alpha u)(x)= O(e^{-\varepsilon\,|x|}) \enspace \text{a medida que $|x|\to\infty$.} $$