¿Por qué este cociente cruzado es igual a infinito?

Question

Actualmente estoy estudiando transformaciones lineales fraccionarias y razones cruzadas y encontré esto en un libro (esto está traducido del coreano, así que pido disculpas si hay errores o ambigüedades):

Podemos definir la razón cruzada para números complejos como:

$$[ z, z_2, z_3, z_4 ] = \dfrac{\dfrac{z - z_3}{z - z_4}}{\dfrac{z_2 - z_3}{z_2 - z_4}}$$

Si consideramos esto como una función del número complejo $z$ y la expresamos como $S(z)$, podemos observar fácilmente que:

$$\begin{align}S(z_2) & = 1 \\ S(z_3) & = 0 \\ S(z_4) & = \infty\end{align}$$

¿Cómo se derivó el $\infty$? Los otros dos son fáciles porque solo tienes que sustituir los valores, pero sustituir $z_4$ da:

$$S(z_4) = \left( \dfrac{z_4 - z_3}{z_4 - z_4} \middle/ \dfrac{z_2 - z_3}{z_2 - z_4} \right)$$

Esto puede ser debido a mi falta de conocimientos previos, pero ¿cómo resulta en $\infty$? Gracias.

Answer 1

$z_4 - z_4 = 0$, por lo tanto tienes $0$ en el denominador. Ahora recuerda que en la esfera de Riemann tenemos: $$\frac{1}{0}:= \infty$$ (nota que no estamos usando un signo). Esto explica por qué $S(z_4)= \infty$.