¿Cuál es la forma cerrada para $ \sum_{n=1}^{\infty}n\theta^n, 0 \lt \theta \lt 1$?

Question

Tengo la siguiente serie:

$$ \sum_{n=1}^{\infty}n\theta^n, 0 \lt \theta \lt 1$$

He visto muchos recursos que dicen que esta serie es convergente. Y utilizando pruebas de convergencia para demostrarlo.

Pregunta:

Pero ¿hay alguna fórmula que dé la suma en forma cerrada?

Answer 1

Supongo que las dos últimas ecuaciones de esta respuesta, (6) y (7), son las más importantes. El resto es solo . . . comentario.

Trabajando a partir del comentario de amsmath, para $0 < \theta < 1$ tenemos

$\sum_1^\infty n \theta^n = \theta \sum_1^\infty n\theta^{n - 1} = \theta \dfrac{d}{d\theta}\sum_1^\infty \theta^n, \tag 1$

y

$\sum_0^\infty \theta^n = \dfrac{1}{1 - \theta}, \tag 2$

entonces

$\sum_1^\infty \theta^n = \dfrac{1}{1 - \theta} - 1 = (1 - \theta)^{-1} - 1, \tag 3$

por lo tanto

$\dfrac{d}{d\theta}\sum_1^\infty \theta^n = \dfrac{d}{d\theta}( (1 - \theta)^{-1} - 1) = (1 - \theta)^{-2}, \tag 4$

así que

$\sum_1^\infty n \theta^n = \dfrac{\theta}{(1 - \theta)^2}, \tag 5$

una expresión en forma cerrada.

De hecho, podemos ver cómo surgen los factores $n$ si miramos el cuadrado de $(1 - \theta)^{-1}$:

$(1 - \theta)^{-2} = ((1 - \theta)^{-1})^2 = (\sum_0^\infty \theta^n)^2 = \sum_{n = 0}^\infty \sum_{i = 0}^n \theta^i \theta^{n -i} = \sum_0^\infty (n + 1) \theta^n, \tag 6$

por lo tanto

$\dfrac{\theta}{(1 - \theta)^2} = \theta \sum_0^\infty (n + 1) \theta^n = \sum_0^\infty (n + 1) \theta^{n + 1} = \sum_1^\infty n\theta^n; \tag 7$

(6)-(7) parece ser otra derivación del resultado deseado.