$T \bar{T}$ OPE

Question

En la página 157 de Di Francesco (Conformal Field Theory) se dice que los componentes holomorfos y antiholomorfos del tensor de energía-momento tienen la OPE trivial

$T(z) \bar{T}(\bar{w}) \sim 0$.

No sé si esto fue explicado anteriormente en el libro y lo pasé por alto o es trivial y no lo veo. ¿Tienes una prueba?

Answer 1

Este OPE no es trivial, simplemente no tiene términos singulares.

Supongamos que hay un operador cuasi-primario $\mathcal{O}$ con peso $(h,\bar h)$ que aparece en el lado derecho. Podemos calcular el coeficiente con el que aparece al observar la función de tres puntos $$ \langle T(z)\bar T(\bar w)\mathcal{O}(x,\bar x)\rangle=\frac{f_{T\bar T\mathcal{O}}}{(z-w)^{2-h}(\bar z-\bar w)^{2-\bar h}(x-w)^{h-2}(\bar x-\bar w)^{\bar h+2}(z-x)^{2+h}(\bar z-\bar x)^{\bar h-2}}. $$ El lado derecho está fijado por la invariancia conforme global hasta el coeficiente $f_{T\bar T\mathcal{O}}$. Sin embargo, el lado izquierdo solo depende de $z$ y no de $\bar z$, así que debemos concluir que $\bar h=2$. De manera similar, debido a que solo depende de $\bar w$ y no de $w$, debemos concluir que $h=2$. Esto significa que no pueden aparecer términos singulares en el OPE porque necesariamente deben tener $h+\bar h<2$. Pero entonces podemos definir el operador $$ (T\bar T)(z,\bar z) \equiv T(z)\bar T(\bar z). $$ Es cuasi-primario y tiene dimensiones $(h,\bar h)=(2,2)$. De hecho, es el único cuasi-primario que aparece en el OPE. El OPE toma la forma simplemente $$ T(z)\bar T(\bar w) = (T\bar T)(z,\bar w)=\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!}(z-w)^n\partial^n_w(T\bar T)(w,\bar w). $$

El operador $T\bar T$ de hecho puede ser definido en cualquier QFT 2D, no necesariamente conforme, pero el argumento es más sutil. Actualmente hay mucha investigación en las teorías que se obtienen al añadir $T\bar T$ a la lagrangiana. (Nota que esta es una deformación irrelevante). Busca "$T\bar T$-deformación".

Agregado: A pedido del OP, aquí hay un curso intensivo en OPEs en teorías de campo conformes. Dado que esta respuesta solo requiere invariancia conforme global, no discutiré las implicaciones de la simetría de Virasoro. Debido a esto, lo siguiente se aplica (con pequeñas modificaciones para acomodar el espin general) en CFT en $d\geq 2$. La simetría de Virasoro también conduce a modificaciones sencillas.

A continuación, $x_i$ denotan puntos espacio-temporales.

Cualquier CFT posee una expansión del producto de operadores que converge en estado de vacío. Es decir, $$ \mathcal{O}_1(x_1)\mathcal{O}_1(x_2)|0\rangle=\sum_i f_{\mathcal{O}_1\mathcal{O}_2\mathcal{O}_i} C_{12i}(x_1,x_2,x_3,\partial_{x_3})\mathcal{O}(x_3)|0\rangle. $$ El punto $x_3$ es en principio arbitrario y a menudo se toma como $x_3=x_2$. Aquí, el operador diferencial $C_{12i}(x_1,x_2,x_3,\partial_{x_3})$ está completamente fijado por la simetría conforme. Depende únicamente de los números cuánticos de los operadores $\mathcal{O}_1,\mathcal{O}_2,\mathcal{O}_i$. El coeficiente $f_{\mathcal{O}_1\mathcal{O}_2\mathcal{O}_i}$ no está fijado por la simetría conforme y representa la información dinámica de la teoría.

Esta expansión es exacta y convergente. A menudo se escribe omitiendo el estado de vacío $|0\rangle$. Esto se debe a que a menudo se utiliza dentro de funciones de correlación euclídeas, donde uno no necesariamente tiene que hablar de una cuantización particular. En funciones de correlación euclídeas, se interpreta el estado de vacío en cuantización radial alrededor del punto $x_3$. El OPE es aplicable en una función de correlación de $n$ puntos euclídea si existe una esfera alrededor de $x_3$ que solo contiene los operadores $\mathcal{O}_1,\mathcal{O}_2$ en $x_1$ y $x_2$ y ningún otro operador.

Uno puede calcular el coeficiente $f_{\mathcal{O}_1\mathcal{O}_2\mathcal{O}_i}$ observando la función de tres puntos $\langle\mathcal{O}_1\mathcal{O}_2\mathcal{O}_i\rangle$ y utilizando el OPE dentro de la función de tres puntos. Dado que las funciones de dos puntos se eligen canónicamente para ser diagonales $\langle\mathcal{O}_i\mathcal{O}_j\rangle\propto \delta_{i,j}$, tenemos $$ \langle\mathcal{O}_1(x_1)\mathcal{O}_2(x_2)\mathcal{O}_i(x_3)\rangle=f_{\mathcal{O}_1\mathcal{O}_2\mathcal{O}_i} C_{12i}(x_1,x_2,x'_3,\partial_{x'_3})\langle\mathcal{O}_i(x'_3)\mathcal{O}_i(x_3)\rangle. $$ Nuevamente, a menudo se usa $x'_3=x_2$. Dado que $C_{12i}(x_1,x_2,x'_3,\partial_{x'_3})\langle\mathcal{O}(x'_3)\mathcal{O}(x_3)\rangle$ está fijado por la simetría conforme y la normalización canónica de las funciones de dos puntos, el coeficiente $f_{\mathcal{O}_1\mathcal{O}_2\mathcal{O}_i}$ se calcula mediante las funciones de tres puntos. Sin embargo, este coeficiente aparece en el OPE, y el OPE es aplicable en todas las funciones de correlación de $n$ puntos, así que no hay falta de generalidad por la que el OP parece estar preocupado.

Answer 2

Creo que encontré cuál podría ser la respuesta. Comencemos con Eq.(5.41) de Di Francesco: \begin{align*} \langle T(z, \bar{z}) X \rangle = \sum_{i=1}^n \left( \frac{1}{z-w_i} \partial_{w_i} \langle X \rangle + \frac{h_i}{(z-w_i)^2} \langle X \rangle \right) + \text{reg.} \, , \end{align*} donde $X$ es cualquier conjunto de campos cuasi-primarios y "reg." es algo holomorfo y regular (no se escribiría en la OPE). De esta ecuación podemos ver que la dependencia de $T(z, \bar{z})$ en $\bar{z}$ se elimina al calcular valores esperados con otros campos cuasi-primarios, y por lo tanto en estos casos podemos escribir \begin{align*} T(z, \bar{z}) = T(z), \end{align*} así como en la teoría clásica. Por lo que entiendo, mientras que en la teoría clásica tenemos $\bar{\partial} T = 0$, por lo que este componente del tensor de momento energía es idénticamente holomorfo, en la teoría cuántica (ya que los campos no están en la capa y las ecuaciones de movimiento no se satisfacen) esto solo se cumple bajo las condiciones explicadas anteriormente.

Un argumento similar funciona para $\bar{T} (\bar{z})$. Ahora que tenemos esto, podemos calcular fácilmente la OPE que queríamos. Siguiendo la fórmula general para una OPE \begin{align*} T(z, \bar{z}) \bar{T}(w, \bar{w}) \sim \sum_k C^k (z-w, \bar{z}- \bar{w}) \mathcal{O}_k(w, \bar{w}) , \end{align*} podemos ver que dado que $T$ y $\bar{T}$ son cuasi-primarios, ambos se comportan como holomorfos y antiholomorfos, respectivamente. Entonces el LHS no depende ni de $\bar{z}$ ni de $w$, lo que a su vez implica que \begin{align*} C^k (z-w, \bar{z}- \bar{w}) = C^k \end{align*} es simplemente una constante. Dado que una constante no tiene términos singulares ni antiholomorfos, la suma $\sum_k C^k (z-w, \bar{z}- \bar{w}) \mathcal{O}_k(w, \bar{w})$ se anula en las OPEs y tenemos \begin{align*} T(z) \bar{T}(\bar{w}) \sim 0. \end{align*}

Answer 3

En una CFT 2D general, el autor define la OPE de dos operadores $A$ y $B$ como

$$ A(z,\bar{z})B(w,\bar{w}) = \sum_n C_n(z-w,\bar{z}-\bar{w}) O_n (w,\bar{w}). $$

donde $ O_n $ son operadores regulares. En particular, si $A(z,\bar{z})=T(z)$ y $B(w,\bar{w}) = \bar{T} (\bar{w})$,

$$ T(z) \bar{T} (\bar{w}) = \sum_n C_n(z-w,\bar{z}-\bar{w}) O_n (w,\bar{w}). $$

Dado que la parte izquierda no depende de $\bar{z}$ y $w$, el siguiente límite está bien definido

$$ T(z) \bar{T} (\bar{w}) = \lim_{\bar{z} \to \bar{w} \\ w \to z} T(z) \bar{T} (\bar{w}). $$

Por lo tanto, usando la definición de OPE,

$$ T(z) \bar{T} (\bar{w}) = \sum_n C_n(0,0) O_n (z,\bar{w}), $$

que es regular. En la notación de Di Francesco, se puede escribir

$$ T(z) \bar{T} (\bar{w}) \sim 0. $$