Pregunta: Demuestra que $$\lim_{x\to 0^+}\int_x^{2x}\frac{\sin t}{t^2}dt=\ln 2.$$
Solución: Observa que $$\lim_{x\to 0^+}\int_x^{2x}\frac{\sin t}{t^2}dt=\ln 2=\lim_{x\to 0^+}\int_x^{2x}\frac{dt}{t}\\\iff\lim_{x\to 0^+}\int_x^{2x}\frac{\sin t-t}{t^2}dt=0.$$
Por lo tanto, es suficiente demostrar que $$\lim_{x\to 0^+}\int_x^{2x}\frac{\sin t-t}{t^2}dt=0.$$
Ahora, expandiendo $\sin t$ usando la fórmula de Maclaurin con el resto en forma de Lagrange, obtenemos $$\sin t=t-\frac{\cos\xi}{3!}t^3, \text{ donde } \xi=\theta t\text{ y } 0<\theta<1.$$
Entonces $$\cos \xi\le 1\implies \frac{\cos \xi}{3!}t^3\le \frac{t^3}{3!}(\because t>0)\\\implies t-\frac{\cos \xi}{3!}t^3\ge t-\frac{t^3}{3!}\\\implies \sin t\ge t-\frac{t^3}{3!}.$$
Nuevamente, dado que $t>0$, tenemos que $\sin t.
Así que para $\forall t\in[x,2x]$ y $\forall x>0,$ tenemos que $$t-\frac{t^3}{3!}\le \sin t\le t\\\implies -\frac{t}{3!}\le \frac{\sin t-t}{t^2}\le 0\\\implies \int_x^{2x} -\frac{t}{3!}dt\le \int_x^{2x}\frac{\sin t-t}{t^2}dt\le 0\\\implies -\frac{x^2}{4}\le \int_x^{2x}\frac{\sin t-t}{t^2}dt\le 0.$$
Ahora, como $\lim_{x\to 0^+} -\frac{x^2}{4}=0$ y $\lim_{x\to 0^+} 0=0$, por el Teorema del Sandwich podemos concluir que $$\lim_{x\to 0^+} \int_x^{2x}\frac{\sin t-t}{t^2}dt=0.$$ Por lo tanto, hemos terminado.
¿Es esta solución correcta y lo suficientemente rigurosa? ¿Existen soluciones alternativas?
