Muchas familias de espacios topológicos tienen superíndices que indican la dimensión: $\mathbb{R}^n$, $B^n$, $D^n$, $\Delta^n$, $S^n$, $\mathbb{R}P^n$, $T^n$. Hay una elegancia en esto: $S^n$ es la frontera de $D^{n+1}$, lo cual es un poco incómodo al principio, especialmente si piensas en cómo definirías sus dimensiones como subconjuntos de $\mathbb{R}^n$ como espacio vectorial, pero bajo cualquier definición topológica aplicable de dimensión, sus superíndices representan sus dimensiones. Por una vez, hay una bonita continuidad en la notación. Sin embargo, existen múltiples nociones topológicas de dimensión: dimensión topológica, ambas dimensiones inductivas, dimensión de complejos CW, dimensión de variedades... Entonces, ¿hay reglas explícitas sobre lo que el superíndice $n$ nos está diciendo acerca de un espacio, o es solo una guía que debería resultar equivalente bajo diferentes definiciones para espacios lo suficientemente agradables?
Respuestas
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Diría que no hay reglas explícitas. Para mí, el punto es que tienes una secuencia de espacios "similares" indexados naturalmente por $n$. Para los ejemplos que mencionaste, parece natural alinear los índices con la dimensión (donde para estos espacios varias nociones de dimensión coinciden). Si se desea discutir directamente alguna dimensión de un espacio, sugeriría ser explícito: $\operatorname{somedim}(X) = n$ mientras que $\operatorname{otherdim}(X) = n'$.
Hay más ejemplos del patrón general no directamente relacionados con la dimensión: $ℤ_n$ para grupo cíclico de orden $n$, $S_n$ y $A_n$ para los grupos simétricos y alternantes; $\ell^p$ y $L^p$ (también denotados por $\ell_p$ y $L_p$) para los espacios de Lebesgue.
Nota que en $ℝ^n$ el superíndice es también una operación genuina - la potencia cartesiana. (Quizás la similitud con $ℝ^n$ es la razón por la que se usa $S^n$ en lugar de $S_n$ para esferas, etc, pero eso es solo una especulación.)
Normalmente uso el número de dimensiones para describir el número de líneas ortogonales compatibles en un instante del espacio. En otras palabras, si uno imagina una tela 2D siendo conformada en cualquier cosa, sigue siendo 2D.
Sin embargo, hay varios problemas aquí.
- Los espacios de curvatura más positiva suelen representarse en espacios euclídeos de n+1 dimensiones aproximadamente. El más común de estos es representar S2 en E3 (es decir, la superficie de la esfera contra su volumen). La realidad es que cualquier espacio aparecerá como una bola en un espacio de mayor dimensión y menor curvatura. El espacio euclidiano E3 aparece en el espacio hiperbólico H4 como una superficie que limita un horoglomo (o horocorono).
El punto en el PG es distinguir entre la tela y lo que está hecho. Por ejemplo, un 'hedrix' es una tela 2D, y uno describe E2 como un horohedrix (tela 2D centrada en el horizonte), la esfera como un glomohedrix (espacio redondo 2D), y el espacio hiperbólico H2 como un bollohedrix (tela 2D de curvatura negativa).
Si se habla de 'poliedro' o 'apeirohedron', entonces esto se refiere a algo cosido junto de parches, un poliedro es (muchos parches cerrados 2D), un apeirohedron es [sin + límite del espacio (valla) + 2D + parches] o un enlosado en cualquier espacio 2D. Un {3,6} es un horohedron o (2D parches centrados en el horizonte).
- Los productos de trazado se basan en dimensiones -1. Esto significa que los exponentes de los productos algebraicos definidos por ellos son iguales al número de vértices que tiene un símplex, por lo que 3P es lo mismo que 2D. Los productos de repetición se basan en dimensiones 0, por lo que la dimensión habitual es la misma que las repeticiones.
La mayoría de los matemáticos aún no han comprendido el producto dibujado, por lo que les importa menos.
La regla explícita es que se debe hacer referencia a la dimensión de 'todo el espacio', es decir, que la superficie de una esfera tratada como geometría esférica es S2, y al salir de dicha S2 se entra en 'hiperespacio'. Si se está viendo una esfera como un sólido, entonces es un objeto en E3 o S3 o H3. Normalmente se hace referencia al espacio en términos de las repeticiones de una línea, en lugar de cualquier producto dibujado. Así que un triángulo es bidimensional, aunque aparece como a³ en productos de trazado.
PG = poliglose en http://www.os2fan2.com/gloss/index.html
