Integral indefinida de $\log(\sin(x))$

Question

Estoy calculando la integral indefinida de $\log(\sin(x))$; esta es mi solución con integración por sustitución:

$$ \begin{align} &\int\log(\sin(x))dx\\ = &\int\log(y)\frac{1}{\cos(x)}dy \\ = &\frac{1}{\cos(x)}\int\log(y)dy \\ = &\frac{1}{\cos(x)}(y\log(y)-y) \\ = &\tan(x)\log(\sin(x))-\tan(x) \end{align} $$

Porque hice la sustitución $y=\sin(x), dy=\cos(x)dx\rightarrow dx=\frac{dy}{\cos(x)}$.

Wolfram en línea da un resultado diferente; ¿dónde está mi error?

Answer 1

$\cos(x)$ no es una constante, ya que $x$ depende de $y$, por lo que no puedes sacar $\cos(x)$ de la integral.

Answer 2

Como dijo Cameron, esta integral indefinida no es elemental. Maple la resuelve en términos de un dilogaritmo... $$ \int \ln \left( \sin \left( x \right) \right) \,{dx}= -x\ln \left( 1-{{\rm e}^{2\,ix}} \right) +x\ln \left( \sin \left( x \right) \right) +\frac{i{x}^{2}}{2}+\frac{i\,{\rm Li_2} \left( {{\rm e} ^{2\,ix}} \right)}{2} $$