Convirtiendo secuencias de productos en factoriales

Question

Estoy tratando de entender los pasos entre estas expresiones iguales para obtener una comprensión más general de las secuencias de productos: $$\prod_{k=0}^{n}\left(3n-k\right) + \prod_{k=n}^{2n-3}\left(2n-k\right) = \prod_{j=2n}^{3n}j + \prod_{j=3}^{n}j =\frac{(3n)!}{(2n-1)!}+\frac{n!}{2}$$

Sé que $ n! :=\prod_{k=1}^{n}k$ pero no puedo entender cómo esto me ayuda a comprender la ecuación anterior.

editar: ¡Gracias por la gran ayuda! Otra cosa que no entiendo, es cómo paso de $\prod_{k=0}^{n}\left(3n-k\right) + \prod_{k=n}^{2n-3}\left(2n-k\right)$ a $\prod_{j=2n}^{3n}j + \prod_{j=3}^{n}j$. Cualquier ayuda para entender esto es muy apreciada, intentaré resolverlo por mi cuenta mientras espero respuestas.

Answer 1

Vamos a evaluar algunos términos para $$\prod_{k=0}^n (3n-k)$$

cuando $k=0$, estamos multiplicando $3n$.

cuando $k=1$, estamos multiplicando $3n-1$.

cuando $k=2$, estamos multiplicando $3n-2$.

y así sucesivamente. Cada vez, el término individual se reduce en $1$.

cuando $k=n$, estamos multiplicando $3n-n=2n$

Por lo tanto, solo estamos multiplicando cada término de $2n$ a $3n$.

$$\prod_{k=0}^n (3n-k)=\prod_{j=2n}^{3n}j=\frac{(3n)!}{(2n-1)!}$$

Answer 2

Obtenemos para enteros $n\geq 2$:

\begin{align*} \color{blue}{\prod_{k=0}^{n}}&\color{blue}{\left(3n-k\right) + \prod_{k=n}^{2n-3}\left(2n-k\right)}\\ &=\prod_{k=0}^n(2n+k)+\prod_{k=n}^{2n-3}(k+3-n)\tag{1}\\ &\,\,\color{blue}{=\prod_{k=2n}^{3n}k+\prod_{k=3}^{n}k}\tag{2}\\ &=\left(\prod_{k=1}^{3n}k\right)/\left(\prod_{k=1}^{2n-1}k\right)+\left(\prod_{k=1}^n k\right)/\left(\prod_{k=1}^2k\right)\tag{3}\\ &\,\,\color{blue}{=\frac{(3n)!}{(2n-1)!}+\frac{n!}{2}} \end{align*}

Comentario:

• En (1) cambiamos en ambos productos el orden de la multiplicación: $k\to (n-k)$ y $k\to ((2n-3)-k+n)$.

• En (2) desplazamos el producto izquierdo por $2n$ mediante $k\to2n+k$ y desplazamos el producto derecho por $-n+3$ mediante $k\to k+n-3$.

• En (3) completamos el producto para empezar con factores desde $1$ y compensamos esto con el producto en el denominador.

Comenzamos con $n\geq 2$, ya que el límite superior del producto derecho en (1) es negativo en caso de $n=1$ invalidando la afirmación.