Define una operación $\square$ en dos conjuntos $S$ y $T$, de tal manera que si $|S| = n$ y $|T| = m$, entonces $|S\mathbin\square T| = n + m$

Question

Entonces, lo que se me ocurrió, similar al producto cartesiano, es que por cada elemento en S, se hace un par ordenado con todo el conjunto T. Por cada elemento en T, se hace un par con todo el conjunto en S. Definido de la siguiente manera:

$$S\mathbin{\square} T := \{(s, T) \mid \forall s \in S\} \cup \{(t, S) \mid \forall t \in T\}$$

donde el par ordenado se define de la siguiente manera: $(x, t) = \{\{x\}, \{x, y\}\}$

Para probar que es correcto, necesito demostrar que los conjuntos que están siendo fusionados son disjuntos, pero no estoy seguro de cómo hacerlo. Cualquier ayuda sería apreciada

Answer 1

Para desunirlos, usa una idea similar: define $0 = \emptyset$ como de costumbre y $1= \{\emptyset\}$. Estos son claramente diferentes.

Luego $S\boxplus T := \cup \{(s,0): s \in S\} \cup \{(t,1): t \in T\}$ creo que funcionará.