Ejemplos de teoremas donde los límites numéricos en $\pi$ jugaron un papel

Question

Esta es una pregunta caprichosa, motivada puramente por la curiosidad en lugar de por alguna aplicación.

Todos estamos familiarizados con innumerables resultados matemáticos que usan la constante de Arquímedes $\pi$ ya sea en su enunciado o en su demostración. Sin embargo, en casi todos los casos que conozco, el valor numérico preciso de $\pi = 3.14159\dots$ no juega un papel significativo en los argumentos; en un hipotético universo matemático alternativo en el cual $\pi$ de alguna manera tomara algún valor numérico real positivo diferente, la mayoría de las demostraciones que involucran $\pi$ seguirían siendo localmente válidas a pesar de la inconsistencia global creada.

Entonces mi pregunta es si existen ejemplos de teoremas matemáticos donde un límite numérico en $\pi$, por ejemplo, $\pi \geq 3$ o $\pi \leq 22/7$, o incluso límites mucho más burdos como $\pi \geq 1$, jugaron un papel importante en la demostración, de tal manera que la demostración fallaría o requeriría una modificación significativa si no se conociera dicho límite. (Aquí excluyo los límites realmente triviales $0 < \pi < +\infty$, que ciertamente se usan implícitamente en muchos lugares). En otras palabras: ¿cuántos dígitos de $\pi$ necesitamos conocer para hacer matemáticas modernas?

Esto se puede contrastar con la pregunta análoga para el número de Euler $e=2.71828\dots$, donde ciertamente se pueden pensar en lugares donde era importante saber que, por ejemplo, $e \geq 2$ (¡y ciertamente $e > 1$ es extremadamente importante!). Pero no puedo pensar en muchos ejemplos que involucren $\pi$; esta constante parece ser mucho menos "dispuesta" a comportarse como una cantidad verdaderamente adimensional que, digamos, $e$, $\sqrt{2}$, o el número áureo $\phi$, en el sentido de que rara vez interactúa de manera aditiva con tales cantidades, y su presencia a menudo se cancela al final de un cálculo.

Para evitar algunas respuestas degeneradas, excluyamos las siguientes categorías de teoremas de esta pregunta:

1. Teoremas sobre $\pi$ en sí misma, como el teorema de Lindemann de que $\pi$ es trascendental, o coincidencias matemáticas que involucran $\pi$ como el punto de Feynman.
2. Teoremas que involucran un cálculo numérico extenso que contiene expresiones que contienen $\pi$. Un ejemplo podría ser un resultado de EDP que dependiera de alguna estimación numérica de una expresión integral que involucra $\pi$, o un autovalor de un operador que también involucrara de alguna manera a $\pi$. [Eximiría esta exclusión si se pudiera argumentar claramente que el valor numérico de $\pi$ jugó un papel particularmente decisivo en el cálculo, en lugar de que la aparición de $\pi$ fuera simplemente un artefacto de las convenciones de normalización (por ejemplo, para la transformada de Fourier) que no tuvo ningún papel real en el teorema final.]
3. Teoremas que comparan arbitrariamente cantidades numéricas, al menos una de las cuales involucra $\pi$ implícita o explícitamente. Un ejemplo de esto podría ser un resultado que compara el volumen de un cubo y una esfera en alguna dimensión, pero sin ninguna motivación para saber cuál es más grande.
4. Teoremas en los que un límite numérico que involucra $\pi$ fue reemplazado por un límite numérico ligeramente más débil que no involucra $\pi$, puramente para que la conclusión final se vea mejor. (Sugerido por JoshuaZ en los comentarios.)
5. Teoremas que usan gratuitamente $\pi$ en su demostración, pero para los cuales la demostración puede ser fácilmente modificada para evitar mencionar $\pi$ (o cantidades relacionadas). (Sugerido por Christian Remling en los comentarios; por ejemplo, la afirmación de que un cuadrado inscribe un círculo de diámetro igual al lado se puede demostrar directamente sin mencionar explícitamente a $\pi$).

Voy a comenzar con un ejemplo cercano a esta pregunta: en algunas aplicaciones del cernido en la teoría analítica de números, es útil saber que el valor promedio de $|\sin x|$, es decir, $\frac{2}{\pi}$, es estrictamente menor que uno (ver, por ejemplo, el final de la Sección 4 de esta publicación de mi blog sobre una demostración del teorema de los números primos usando álgebra de Banach). Ostensiblemente, esto está usando el límite inferior $\pi > 2$. Sin embargo, en realidad no es necesario saber sobre $\pi$ para ver este hecho, ¡ya que es inmediato simplemente con la inspección del gráfico de $|\sin x|$ que su valor promedio va a ser menor que uno! El hecho de que este valor promedio también se evalúe explícitamente como $\frac{2}{\pi}$ es, hasta donde sé, prescindente para las aplicaciones que conozco, y por lo tanto la aparición de $\pi$ aquí es (casi literalmente) tangencial. (En cambio, uno puede ver este argumento como una prueba del límite inferior $\pi > 2$, y por lo tanto es básicamente un resultado de la primera categoría de exclusiones; también se puede ver este ejemplo en particular como también perteneciente a la quinta categoría.)

Answer 1

No estoy seguro si esto califica, pero hay casos en los que es importante conocer los límites de $\zeta(2k)$. En particular, si estás dispuesto a igualar $\zeta(2)$ con $\pi^2/6$, entonces aquí tienes un ejemplo donde se necesita un límite numérico para $\pi$.

Definición: Sea ${\mathcal D}=(D_n)_{n\ge1}$ una secuencia de enteros positivos. Decimos que un primo $p$ es un divisor primitivo de $D_n$ si $p\mid D_n$ y $p\nmid D_m$ para todo $m. El conjunto Zsigmondy de $\mathcal D$ es $$Z(\mathcal D)=\{n\ge1:\text{$D_n$ no tiene divisores primitivos}\}.$$

Teorema: Sea $\mathcal D$ una secuencia de divisibilidad elíptica (definición abajo). Entonces $Z(\mathcal D)$ es finito.

Un paso en la demostración (ZBL0654.10019 Lemma 9) utiliza el hecho de que $2-\zeta(2)>0$, es decir, $\pi<3.464$. Más precisamente, la cantidad $$ n^2 - \sum_{\substack{k\mid n\\k necesita crecer tan rápido como algún múltiplo positivo de $n^2$.

Definición: Sea $E/\mathbb Q$ una curva elíptica dada por una ecuación de Weierstrass, sea $P\in E(\mathbb Q)$ un punto no de torsión, y escribe la coordenada $x$ de los múltiplos de $P$ como $x(nP)=A_n/D_n^2$. Entonces la secuencia $(D_n)_{n\ge1}$ se llama una secuencia de divisibilidad elíptica.

Anexo: La estimación $(*)$ utiliza el hecho de que $2>\zeta(2)=\pi^2/6$, pero hubiera sido suficiente saber que \begin{aligned} 0 &< \limsup_{n\ge1} \left\{2-\sum_{k\mid n}\frac{1}{k^2}\right\} = \limsup_{n\ge1} \left\{2-\prod_{p\mid n}\left(1+\frac{1}{p^2}\right)\right\}\\ &= \limsup_{n\ge1} \left\{2-\prod_{p\mid n}\left(1-\frac{1}{p^4}\right)\left(1-\frac{1}{p^2}\right)^{-1}\right\}\\ &= 2-\frac{\zeta(2)}{\zeta(4)} = 2 - \frac{\pi^2}{15}. \end{aligned} Por lo tanto, la desigualdad requerida es $\pi<\sqrt{30}\approx5.477$, lo que significa que la afirmación de Terry $2<\pi<4$ sería suficiente.

Answer 2

Podrían funcionar aquí muchos ejemplos relacionados con Minkowski. Por ejemplo:

Sea $D$ el discriminante de un cuerpo de números algebraicos $K$ de grado $n$ sobre $ \mathbb{Q}$, donde $r_1$ y $r_2$ son los números de encajes reales y complejos. Entonces, cada clase en el grupo de clases de ideales de $K$ contiene un ideal integral de norma a lo sumo $$\sqrt{|D|} \left(\frac{4}{\pi}\right)^{r_2} \frac{n!}{n^n} \ . $$

Entender cómo se comporta esto para varios campos a veces requiere usar que $\pi <4$. Otras estimaciones conectan este límite con la fórmula de Stirling para $n!$.

Otra dirección relacionada, también proveniente de argumentos de tipo Minkowski, es la prueba de estilo Minkowski del teorema de los cuatro cuadrados de Lagrange, donde se utiliza $\pi >2$. Podrían usarse estimaciones más precisas para resultados sobre otras formas cuadráticas similares.

Answer 3

Los dos artículos de Viazovska sobre empaquetamientos de esferas requieren la verificación de varias desigualdades que involucran a $\pi$. Por ejemplo, de la Sección 5 del primer artículo:

(Alguien podría probar qué tan sensibles son estos límites al valor de $\pi$. Tal vez haya más ejemplos relacionados con formas modulares. ¿Qué tal $e^{\pi\sqrt{163}}$?) Estas son desigualdades auxiliares para probar una de las dos principales desigualdades, que Romik (2023) dio pruebas que no dependen de cálculos computacionales pero aún requieren probar algunos límites (ver Ecuación 20 y Lema 2, 3) que involucran a $\pi$, $e$ y $\Gamma(1/4)$. Parece que el segundo artículo sigue dependiendo de cálculos computacionales sin embargo.

Answer 4

¿Qué tal un ejemplo donde el valor numérico de $\pi$ es lo que hace que un problema no se resuelva? El problema del sofá en movimiento. Ver el artículo de Dan Romik.

Un límite superior original en la constante del sofá en movimiento dado por Hammersley es $2\sqrt{2}\approx 2.828$ que ha sido mejorado a $2.37$ por Romik.

A continuación se muestra un ejemplo de un sofá con área $\pi/2+2/\pi\approx 2.2074$. Notar que esto no es una solución porque $\pi/2+2/\pi<2.37$.

De hecho, $x/2+2/x=2.37$ tiene dos soluciones, $x\approx 1.09843,3.64157.$ En particular, para $x\in (1.09843,3.64157)$ tenemos que $x/2+2/x<2.37$.

El ejemplo dado a continuación no es óptimo porque $\pi\in(1.09843,3.64157)$.

Creo que esto califica porque esta forma es un intento natural y una de las primeras cosas que se intentarían. El problema es interesante y no trivial precisamente porque una de las primeras cosas que se intentarían no funciona. El $\pi$ aparece debido a la forma circular y por lo tanto no es una elección arbitraria.

Answer 5

En el artículo, Vectores espaciales que forman ángulos racionales, de Kiran S. Kedlaya, Alexander Kolpakov, Bjorn Poonen y Michael Rubinstein, los autores clasifican todos los conjuntos de vectores no nulos en $\mathbb{R}^3$ tales que el ángulo formado por cada par es un múltiplo racional de $\pi$. Sorprendentemente, la prueba se basa en gran medida en cálculos de puntos flotantes de alta precisión, y $\pi$ está fuertemente implicado en estos cálculos. Sin embargo, no estoy seguro de cuántos dígitos de $\pi$ se necesitan; veré si puedo contactar a los autores para obtener información más detallada.