Pregunta sobre la prueba del Teorema de la Función Implícita en *Análisis en Variedades* por Munkres

Question

Estoy leyendo Análisis en Variedades de Munkres, y tengo una pregunta sobre la demostración del Teorema de la Función Implícita (tanto la afirmación como la demostración se incluyen a continuación):

1. Nota (3er párrafo de la demostración) cómo Munkres elige $U \times V$ como un vecindario de $(a,b) \in \mathbb{R}^{k+n}$. Sé que esto se puede hacer restringiendo el conjunto abierto garantizado que existe por el Teorema de la Función Inversa, pero no veo por qué queremos que sea un producto cartesiano.
2. Respecto a la unicidad (último párrafo de la demostración), ¿por qué es necesario el argumento proporcionado? Parece innecesariamente complicado. Así es como lo razoné: digamos que $(x,g(x)) \in U \times V$ tal que $f(x,g(x))= \textbf{0}_n$. Luego $F(x,g(x))=(x,\textbf{0}_n)$, así que $$(x,g(x))=G(x,\textbf{0}_n)=(x,h(x,\textbf{0}_n)).$$ (Aquí $G=F^{-1}$ y $h$ son las últimas funciones coordenadas $n$ de $G$, siguiendo la notación de Munkres). Por inspección, $g(x)=h(x,\textbf{0}_n)$, por lo tanto, se muestra la unicidad porque acabamos de derivar lo que tiene que ser $g(x)$.

Desde ya, muchas gracias.

Answer 1

Su argumento de unicidad no puede ser correcto, porque nunca usa continuidad, y la unicidad del teorema falla cuando se elimina la continuidad.

Considere $f(x,y) = x^2+y^2 - 5$ en $\mathbb{R}^2$. Entonces el TFT se aplica en $(1,2)$ y podemos resolver $y$ para $x$ de más de una manera, al eliminar la continuidad.

El error ocurre en la línea $F(x,g(x)) = (x,0) \implies (x,g(x)) = G(x,0)$

¡Solo puedes aplicar $G = F^{-1}$ en elementos de $W$, y nada te dice que $g(U)$ esté contenido en $V!